Ecuacion de la circunferencia

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad5.html

5.1.ECUACION ANALITICA DE LA CIRCUNFERENCIA.
5.2. Condiciones para que la ecuación general de segundo grado en dos variables x e y representen una circunferencia.5.3. Ecuación de la circunferencia determinada por tres condiciones.5.4. Puntos comunes a una circunferencia y a una recta.5.4.1. Recta tangente a una circunferencia y dependiente conocida.5.4.2. Recta tangente a la circunferencia por un punto dado de la curva.5.5. Posiciones relativas de dos circunferencias no concéntricas. 5.6. Ejercicios resueltos de la unidad   N°5. 5.7. Ejercicios propuestos de la unidad  N°5. |

5. LA CIRCUNFENRENCIA |

Introducción | |
|
La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano queequidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos C(C;r) es el conjunto siguiente:  C (C; r) = {P tal que  = r} |
..
5.1. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA |
|
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a unsistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) . 
 
  | Entonces:    Es decir,    Por lo tanto:  (1) |
fig. 5.1.Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.  Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de laC(o; r) es x2 + y2 = r2.  La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)  | El punto A(3, 4) C(0, 5) ya que:  32 + 42 = 25  De (1) se deduce que:   Lo que muestra que:  para todo x  [-5, 5], el punto  está en la semicircunferencia superior y que   para todo x  [-5, 5], el punto  está en la semicircunferencia inferior. |
fig. 5.2. |
....
5.2. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DESEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA CIRCUNFERENCIA. |
|
La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (2)  Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y.   Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean amboscero).  La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2).  En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7  Supóngase ahora que en la ecuación (2), B = 0, A = C 0.  Luego de dividir por A, (2) toma la forma:  x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde   Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene:  (x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f  ó (x + d)2 + (y +e)2 = d2 + e2 – f (4)  En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos:  Si d2 + e2 – f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir(x + d)2 + (y + e)2 = r2  Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio   Cuando d2 + e2 – f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas delpunto C(-d, -e).  Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto del plano que satisface (2) es el punto C(-d, -e).  Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)R2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}=  |

....
5.3. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES |
|
Considere de nuevo la ecuación: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0(3)  Según se ha establecido, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación anterior representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio  
  Si se regresa a (4) se observa que para poder tener determinada la circunferencia se necesita determinar los valores de tres parámetros: d, e y f.  El ejemplo 1. de la sección 5.5. muestra como encontrarlos dando tres condiciones que debe cumplir la curva que...