Ecuacion_de_la_recta



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Ecuación de la Recta


Concepto de Recta

Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado.
Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta.

La x y la y sonlas variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 2 = 2 lo que resulta verdadero.

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo “x” el valor de la abscisa e “y” el valor de la ordenada.
 (x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (-3, 5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5.

La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

FormaGeneral: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n


Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de lasordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea



Obs. Una recta que esparalela al eje x, tiene pendiente igual a cero.
Una recta que es paralela al eje y, no tiene pendiente

EJERCICIOS:

1. Calcula en cada caso la pendiente de la recta determinada por los puntos:
a) A (4,6) y B (2,3)



b) P (-3,2) y Q (-3,5)



c) M (4,8) y W (-7,8)




2. Considera el triángulo ABC, cuyos vértices son A(4,6) , B(-6,4) y C(8,2). Calcula la pendiente de la recta quecontiene a cada lado del triángulo.










En la ecuación general de la recta, ax + by + c = 0 la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:
 
Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal.

Ax + By + C = 0  Ax + By = -C  By = -Ax – C 

  luego y


Ejemplo:
¿Cuál es lapendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?
A = 4, b =-6, c = 3

  m = -4/-6 = 2/3 ;   n = -3/-6 = 1/2



Ejercicios
Escribe la ecuación general y principal de la recta, de modo que m y n sean, respectivamente:
a) Ejemplo : 1 y -1  y = 1x -1  0 = x – y -1

b) 5 y 0



c) 8 y 3



d) 3/5 y 1/ 4


e) -4/3 y 5/4



Tres puntos colineales. (alineados)“Tres puntos son colineales si pertenecen a la misma recta”
A, B y C son colineales si la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC.

Ejercicios
1. Deducir si los puntos A(-2, 1), B(2, 1), C( 4, 2) son colineales.








2. Calcular el valor de “k” en C para que se cumpla que los 3 puntos A(-3, -2),
B(6, 3), C(0, k) sean colineales.








Ecuación de la recta que pasa por dos puntosSean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente por ser colineales. O sea

y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos...