Ecuacion de los tres momentos

Tarea N.2

Presentado por: Fredy Mauricio Garcia Marin Gelver Andres Imbachi Guerrero Carlos Andres Veloza Martinez Julian Andres Zanguña Villalba 215187 214672 214753 214758

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería. Dpto. Ingeniería Civil. Análisis Estructural Básico. Bogotá Mayo de 2011

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Ecuación de los Tres Momentos

Es una ecuación que relaciona los momentosinternos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los soportes. Al aplicar esta ecuación sucesivamente a segmentos de la viga se obtendrá un sistema de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente para determinar los momentos internos. [1]

Deducción de la Ecuación. En la Figura 1ª, se presenta una viga sometida a una carga cualquiera y soportada de formaarbitraria. Se corta la viga por tres puntos arbitrarios 1, 2 y 3, y se sustituye el efecto de las cargas y fuerzas a la derecha o a la izquierda de cada sección como se ve en la Figura 1b. Para la deducción de la Ecuación se que la Curvatura es Positiva para cada tramo, es decir, los momentos en cada tramo son positivos.

Figura 1. Carga general en cualquier viga. [2]

La deducción de laecuación se hace utilizando el segundo Teorema de Área Momento. Figura 2

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Figura 2. Elastica de cualquier viga. [2]

Determinando los valores de y y reemplazando en la ecuación (1) se encuentra la Ecuación de los Tres Momentos.

Si los puntos 1, 2 y 3 están al mismo nivel en la viga deformada, los términos y se anulan. Por lo general ésta condición se cumple para el análisis de las vigas. Lostres puntos que se escogen para aplicar la ecuación a una viga continua son tres apoyos, que se suelen suponer rígidos y ubicados a la misma altura, utilizando la ecuación se determinan los momentos internos en cada apoyo. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habrá que considerar el signo al momento de sustituir su valor en la ecuación. Como ya se dijo los momentosdesconocidos en cada tramo se asumen positivos inicialmente, es decir que si al resolver la ecuación sale un valor negativo para cualquiera de los momentos, dicho momento en realidad es negativo al igual que la curvatura. [2]

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La utilidad de la ecuación de los tres momentos depende de la facilidad con que se puedan determinar los términos y

.

Estos términos se refieren al área demomentos flexionante que resulta de aplicar las cargas en el tramo sobre una viga apoyada en sus extremos. Entonces área sobre el Tramo 2. [2] En la siguiente tabla se muestran valores de diferentes tipos de carga. Tabla 1 [2] y sobre cada tramo para será el área sobre el Tramo 1 y el

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Planteamiento del Ejercicio 1

Para realizar el planteamiento del problema es necesario hacer lassiguientes consideraciones: ;

Como todos los puntos se encuentran a la misma altura la ecuación de los tres momentos se reduce a:

Como es necesario aplicar la ecuación a tramos consecutivos para obtener un sistema de ecuaciones, se aplicara la ecuación de la siguiente manera:

Primer segmento: ABC Segundo segmento: BCD Tercer Segmento: CDE

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 Segmento ABC.

Para el Segmento ABC:

Paradeterminar

y

es necesario acudir a los datos de la Tabla 1.

Para determinar

, que corresponde al área de momentos sobre el Tramo AB, se

toma el caso N. 1 de la Tabla 1.

;

Donde

;

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Para determinar

, que corresponde al área de momentos sobre el Tramo BC,

se toma el caso N. 2 de la Tabla 1.

; Donde

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación de lostres momentos:

Ecuación (1)

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 Segmento BCD.

Para el Segmento BCD:

Para determinar

y

es necesario acudir a los datos de la Tabla 1.

Para determinar

, que corresponde al área de momentos sobre el Tramo BC, se

toma el caso N. 2 de la Tabla 1.

; Donde

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Para determinar

, que corresponde al área de momentos sobre el Tramo CD,

se suman los casos N. 1 y...