Ecuacion De Navier Para Ondas En El Espacio
Páginas: 4 (914 palabras)
Publicado: 13 de febrero de 2013
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
INGENIERÍA EN PETRÓLEOS
TRABAJO DE GEOFISICA
ARIEL CORREDORES 13 DE FEBRERO DEL 2013
Ecuación de Navier
Enun sólido continuo, elástico, homogéneo e isótropo, la ecuación que rige la propagación de las ondas, se puede escribir de una manera compacta de la siguiente forma:
μ∇2u+(λ+μ) ∇(∇⋅u)=ρ ∂2u∂t2(21),donde u=(u,v,w) es un vector que representa el desplazamiento en las tres direcciones del espacio x,y,z respectivamente y t es el tiempo. Además, λ y μ son los llamados parámetros de Lamé (el primerono tiene interpretación física y el segundo es el módulo de elasticidad transversal) y caracterizan al medio, junto con ρ que representa la densidad.
Ésta es la denominada Ecuación de Navier enausencia de fuerzas de volumen.
Para un campo vectorail cualquiera, V, tenemos que:
∇2V=∇(∇⋅V)−∇×(∇×V)(22)
Insertando (22) en (21), tenemos que:
La ecuación (23) permite separar la ecuación deNavier en dos partes bien diferenciadas.
Por un lado, si las ondas son equivolumétricas (ondas S), el desplazamiento se produce sin cambio en el volumen, es decir,
∇⋅u=0(24).
Y entonces (23) queda como:donde es la velocidad con la que se van a propagar las ondas S.
Si ahora consideramos que el movimiento se produce sin rotación de partículas, de manera que
∇×u=0(26),
la ecuación (23) seescribe como:
donde es la velocidad de propagación de las ondas compresionales (ondas P). Ésta es la ecuación diferencial de onda tridimensional.
Contrastar las velocidades β y α asociadas a lasondas S y P, respectivamente con la ecuación (1).
Desarrollo de la ecuación en coordenadas cartesianas
Vamos a desarrollar la ecuación (23) considerando que u=u e^x+v e^y+w e^z, donde e^x,e^y,e^z son los vectores unitarios en la dirección de x, y, z respectivamente.
Primero calculemos (∇⋅u):
Ahora calculemos ∇(∇⋅u):
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Para el segundo término de (23), primero calculemos:...
INGENIERÍA EN PETRÓLEOS
TRABAJO DE GEOFISICA
ARIEL CORREDORES 13 DE FEBRERO DEL 2013
Ecuación de Navier
Enun sólido continuo, elástico, homogéneo e isótropo, la ecuación que rige la propagación de las ondas, se puede escribir de una manera compacta de la siguiente forma:
μ∇2u+(λ+μ) ∇(∇⋅u)=ρ ∂2u∂t2(21),donde u=(u,v,w) es un vector que representa el desplazamiento en las tres direcciones del espacio x,y,z respectivamente y t es el tiempo. Además, λ y μ son los llamados parámetros de Lamé (el primerono tiene interpretación física y el segundo es el módulo de elasticidad transversal) y caracterizan al medio, junto con ρ que representa la densidad.
Ésta es la denominada Ecuación de Navier enausencia de fuerzas de volumen.
Para un campo vectorail cualquiera, V, tenemos que:
∇2V=∇(∇⋅V)−∇×(∇×V)(22)
Insertando (22) en (21), tenemos que:
La ecuación (23) permite separar la ecuación deNavier en dos partes bien diferenciadas.
Por un lado, si las ondas son equivolumétricas (ondas S), el desplazamiento se produce sin cambio en el volumen, es decir,
∇⋅u=0(24).
Y entonces (23) queda como:donde es la velocidad con la que se van a propagar las ondas S.
Si ahora consideramos que el movimiento se produce sin rotación de partículas, de manera que
∇×u=0(26),
la ecuación (23) seescribe como:
donde es la velocidad de propagación de las ondas compresionales (ondas P). Ésta es la ecuación diferencial de onda tridimensional.
Contrastar las velocidades β y α asociadas a lasondas S y P, respectivamente con la ecuación (1).
Desarrollo de la ecuación en coordenadas cartesianas
Vamos a desarrollar la ecuación (23) considerando que u=u e^x+v e^y+w e^z, donde e^x,e^y,e^z son los vectores unitarios en la dirección de x, y, z respectivamente.
Primero calculemos (∇⋅u):
Ahora calculemos ∇(∇⋅u):
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Para el segundo término de (23), primero calculemos:...
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