ecuacion de onda schrodinger y números cuánticos

1.6.4 ECUACION DE ONDA
La ecuación de Schrodinger describe la evolución (determinista) de un campo  llamado función de ondas. Esta ecuación en una dimensión es de la forma:

(1)
Donde h es la constante de Planck, (x,t) es el campo que representa a una partícula en el instante t, m es la masa de dicha partícula, V(x) es el potencial al que se ve sometida y H es el operador Hamiltoniano(que es Hermítico). La función de ondas es la magnitud que contiene toda la información accesible a un observador externo al sistema (notar que es una variable compleja). Para evitar el uso continuado de m y h, reescalamos el tiempo t th y el espacio x xh/[2m] lo que nos da una ecuación de Schrodinger equivalente a (1) pero con h = 1 y m = 1/2. Esta ecuación reescalada será la queutilicemos a partir de ahora.
El carácter físico de la función de ondas fue dado por Max Born al interpretar que

(2)




es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en el punto x en el instante t. Para que sea una probabilidad, debemos de garantizar que

(3)

Esto es, las funciones de onda han de ser de cuadrado integrable luego han de pertenecer a un espacio de Hilbert.Notar que la integral de probabilidad es una constante durante la evolución.
Finalmente decir que la solución formal de la ecuación de Schrodinger es

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Donde el operador eitH es unitario al ser H hermético. Esta última propiedad nos será útil a la hora de hallar la discretización más adecuada.

RESUMEN ACERCA DE ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRÔDINGER

En 1926 usando técnicas matemáticascomplicadas, formula una ecuación que describe el comportamiento y la energía de partículas submicroscópicas en general.
Esta ecuación incorpora tanto el comportamiento de partícula, en función de la masa m, como de onda, en términos de una función de onda ψ, que depende de la posición del sistema en el espacio (por ejemplo un electrón en un átomo).
SIGNIFICADO FISICO DE LA FUNCIÓN DE ONDAIndica la probabilidad de encontrar al electrón en cierta región del espacio cuando se eleva al cuadrado ψ2.
Esto significa que ψ2 define la distribución de la densidad electrónica al rededor del núcleo en el espacio tridimensional; una alta densidad representa una probabilidad alta de localizar al electrón y viceversa.
El orbital atómico o REEMPE, se puede considerar como la función de onda delelectrón de un átomo.
APLICACIONES:
1.- Especifica los posibles estados energéticos que el electrón del átomo de hidrógeno puede ocupar e identifica las correspondientes funciones de onda ψ, por medio de un conjunto de números cuánticos, con los cuales se puede construir un modelo comprensible del átomo de hidrógeno.
2.- No funciona para átomos que tengan más de un electrón, pero el problema seresuelve usando métodos de aproximación para átomos polielectrónicos.

Premio Nóbel 1933, autor de la teoría de la Mecánica Ondulatoria o Mecánica Cuántica, con las aportaciones de Heisenberg; sentaron las bases de la Teoría Cuántica Moderna.
Mecánica Cuántica y Orbitales Atómicos

En1926 Erwin Schrödinger formula la ecuación de onda de Schrödinger, que describe el comportamiento y laenergía de las partículas submicroscópicas. Es una función análoga a las leyes de Newton para los sólidos macroscópicos que incorpora tanto el carácter de partícula (en función de la masa) como el carácter de onda en términos de una función de onda Y ( psi)..

Podemos pensar en las ecuaciones de onda de Schrödinger como en ondas estacionarias de diferente energía.
El ejemplo del movimiento de unacuerda de guitarra nos ayudará a comprender el concepto de onda estacionaria. La cuerda de guitarra vibra pero no se desplaza, por eso es estacionaria.
Un nodo es un punto que no se mueve. La longitud de la cuerda tiene que ser un múltiplo del valor de media longitud de onda, ya que en los dos extremos de la cuerda que están fijos debe haber un nodo.
 
Para resolver la ecuación de onda...