Ecuacion de onda

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Ecuación de onda
La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que estánen los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange.

Un pulso que viaja a través de una cuerda con sus extremos fijos es modelado por la ecuación de onda.

Las ondas esféricas provienen de una fuente puntual.
Contenido[ocultar] * 1 Introducción * 2 Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión* 2.1 Obtención de la ecuación de onda * 2.1.1 De la ley de Hooke * 2.2 Solución del problema de valor inicial * 3 La ecuación de onda escalar en un espacio de tres dimensiones * 3.1 Ondas esféricas * 3.2 Solución de un problema de valor inicial general * 4 Ecuación de onda escalar en un espacio de dos dimensiones * 5 Problemas con fronteras * 5.1 En elespacio de una sola dimensión * 5.2 En un espacio de varias dimensiones * 6 La ecuación de onda no homogénea en una dimensión * 7 Otros sistemas de coordenadas * 8 Véase también * 9 Referencias * 10 Enlaces externos |
[editar] Introducción
La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hacereferencia a un escalar u que satisface:

Donde es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral(un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede dependertambién de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada).
Laecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que lasecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

Donde:
* λ y μ son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.
* ρ es la densidad,
* es la función de entrada (fuerza motriz),
* y es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Estaecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial.
Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.
Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión
Obtención de la ecuación de onda
De la ley de Hooke
La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley de Hooke de la...