Ecuacion de schrodinger

LA ECUACION DE SCHRODINGER.



Erwin Schrodinger (1887-1961)

Para describir el desplazamiento asociado al movimiento de una partícula libre, el físico austriaco Erwin Schrodinger (1887-1961) introdujo una magnitud a que llamo función de onda.
= e
Laecuación es fundamental para la mecánica cuántica, fue propuesta por Erwin Schrodinger en 1926, quien compartió el premio Nóbel de 1933 por este logro.
Antes de presentar la ecuación debemos saber que la ecuación de Schrodinger se puede reescribir así:
= (e ) (e )

Donde la función aparece como el producto de dos factores: uno que incluye sólo a xy el otro sólo t.
La ecuación de Schrodinger para una partícula (no necesariamente libre) que se mueve en la dirección x, es:
+ U(x) = E
Donde E es la energía total (constante) de la partícula y donde U(x) es su energía potencial.

LA ECUACION DE SCHRODINGER PARA UNA PARTICULA LIBRE

Si la partícula es libre, su energía potencial U(x) es unaconstante, la cual podemos suponer que es cero en todos los valores de x. Entonces la energía total E de la partícula en movimiento es enteramente cinética. En otras palabras, debemos tener E= K= donde p es el momento de la partícula. Hecha esta sustitución en la ecuación de Schrodinger queda así:
1) + = 0
La función de onda que queremos probar es:2) = e

Su primer derivada es: = (ik) e
Y su segunda derivada (donde = -1) es: = (-k ) e = - .
Si sustituimos - = y la sustituimos en la ecuación 1, obtendremos:
+ = 0
Al cancelar y sustituir nos queda: k = una identidad.
Como la sustitución de la ecuación 2 en la ecuación deSchrodinger produce una identidad, hemos probado que la primera es efectivamente una solución de la segunda.

LA ECUACION DE SCHRODINGER PARA UNA BARRERA DE POTENCIAL



La figura muestra un electrón de energía total (constante) E que se dirige hacia x creciente. Su energía potencial es cero, salvo cuando se halla en la región 0L.
3) Dentro de la barrera. En este caso la ecuación de Schrodingeres:
a) + [U - E] = 0

Notemos que, como U > E, la cantidad dentro de los corchetes cuadrados es positiva.
Intentemos una solución de tipo:
b) = e + e
Donde y son las constantes de amplitud y, según se puede ver no aparece el numero imaginario i. Es fácil demostrar que, en caso de sustituir esta función y su segunda derivadaen la ecuación a), la variable x se eliminara, a condición de que la constante k’ en la ecuación b) tenga el valor:

La solución detallada indica , y entonces la densidad de probabilidad que se deduce a la ecuación b) será:
P(x)= .
Ese valor decrece con x. Así aunque la partícula puede hallarse en la región clásicamentevedada donde U > E, cada vez habrá menos probabilidades de encontrarla cuando mas penetremos dicha región. Localizar una partícula en una región donde la prohíbe la física clásica es un aspecto común en la mecánica cuántica.

LA ECUACION DE SCHRODINGER PARA UN POZO DE POTENCIAL.

En este caso debemos encontrar resolviendo la ecuación de Schrodinger que es:+ U(x) = E
Donde m es la masa de electrón; E su energía total, y U(x) su energía potencial. Tratándose del pozo finito obtenemos resolviendo la ecuación por separado para las tres regiones. Por lo tanto:
REGION 1. Esta región, donde , se halla afuera del pozo, a su izquierda. Aquí U(x)= U = una constante positiva y U(x)>E.
REGION 2. Esta región, donde , está...