Ecuacion diferencial para la deflexion de vigas

ECUACION DIFERENCIAL PARA LA DEFLEXIÓN DE VIGAS.
Para desarrollar la expresión de la ecuación diferencial de la elástica de una viga, estudiaremos una viga cargada como la de la figura 1, conun sistema de ejes en el que el eje y es positivo hacia arriba y el eje x es positivo hacia la derecha. Consecuentemente, el eje z es positivo en la dirección saliente del plano del papel y seránpositivos los giros en sentido anti horario. El motivo de cargarla según se ve en la figura es que las deformaciones producidas por la carga resulten positivas aunque en la realidad una carga así seadifícil de encontrar.

Figura 1.- Curva de deflexión de una viga empotrada.

Llamaremos deflexión ν al desplazamiento de cualquier punto sobre el eje de la viga. Como el eje y es positivohacia arriba, las deflexiones serán también positivas hacia arriba. Para obtener la ecuación de la elástica, que representa la deflexión de cualquier punto de la viga, tenemos que ser capaces de expresarla deflexión en función de la coordenada x. Para ello nos fijaremos en la figura 2.

Figura 2.- Deflexión y ángulo de rotación de una viga.

La deflexión de un punto genérico m1 será ladistancia desde la deformada al eje de abscisas, ν. Si tomamos otro punto m2 infinitesimalmente próximo al anterior (su abscisa será x+dx), su deflexión será muy parecida a la de m1, pero habrá variadoun poco (otra cantidad infinitesimal), dν, que se corresponde con el incremento de la deflexión conforme avanzamos a lo largo de la curva desde m1a m2. La deflexión de este segundo punto será ν+ dν.Al flexionarse la viga, cada uno de sus puntos realiza dos movimientos:
a) Se desplaza una cantidad ν según hemos visto.
b) Gira un cierto ángulo.
Llamaremos ángulo de rotación, θ, del ejede la viga al ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión en un punto 1. Así, nuestro punto m1 tendrá un ángulo de rotación θ. El punto m2 habrá girado un poco más, en concreto una...