Ecuacion diferencial

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VICTORIA

Ecuaciones diferenciales

Ingeniería Mecatrónica

Ciudad Victoria Tamaulipas; Julio de 2011y(4)-2y(2)+y=8(ex+e-x)+4(sinx+cosx)
⇓
y(4)-2y(2)+y=8ex+8e-x+4sinx+4cosx

Para Φh:
r4-2r2+1=0

Por sustitución de variable: m= r2 m2= r4
m2-2m+1=0
m-1m-1=0
m= 1 m=1
r2= 1r2= 1
r= ±1 r= ±1

Φh=c1ex+c2xex+c3e-x+c4e-x
Φh=exc1+c2x+e-x(c3+c4x)

Para Φp:
b(x)= 8ex+8e-x+4sinx+4cosx
r1= 1 r2= 1 r3= -1 r4= -1
α= 1 α= -1 ± iβno son raices

entonces
Φp=Ax2ex+Bx2e-x+Ccosx+Dsinx

Φp1=Ax2ex
Φ'p1=Ax2ex+2xex
=Ax2ex+2Axex
Φ''p1=Ax2ex+2Axex+2Axex+ex=Ax2ex+4Axex+2Aex
Φ'''p1=Ax2ex+2Axex+4Axex+ex+2Aex
=Ax2ex+6Axex+6Aex
Φ''''p1=Ax2ex+2Axex+6Axex+ex+6Aex
=Ax2ex+8Axex+12Aex

Φp2=Bx2e-xΦ'p2=B-x2e-x+2xe-x
=-Bx2e-x+2Bxe-x
Φ''p2=-B-x2e-x+2xe-x+2B-xe-x+e-x
=Bx2e-x-4Bxe-x+2Be-x
Φ'''p2=-Bx2e-x+2Bxe-x+-4B-xe-x+e-x+-2Be-x=-Bx2e-x+6Bxe-x-6Be-x
Φ''''p2=Bx2e-x-2Bxe-x+6B-xe-x+e-x--6Be-x
=Bx2e-x-8Bxe-x+12Be-x

Φp3=Ccosx
Φ'p3=-Csinx
Φ''p3=-Ccosx
Φ'''p3=Csinx
Φ''''p3=Ccosx

Φp4=DsinxΦ'p4=Dcosx
Φ''p4=-Dsinx
Φ'''p4=-Dcosx
Φ''''p4=Dsinx

Sustituyendo en y(4)-2y(2)+y=8ex+8e-x+4sinx+4cosx=Ax2ex+8Axex+12Aex+Bx2e-x-8Bxe-x+12Be-x+Ccosx+Dsinx-2Ax2ex-8Axex-4Aex-2Bx2e-x+8Bxe-x-4Be-x+2Ccosx+2Dsinx+Ax2ex+Bx2e-x+Ccosx+Dsinx
⇓
8Aex+8Be-x+4Ccosx+4Dsinx=8ex+8e-x+4sinx+4cosx

8Aex=8ex ⇒ A= 18Be-x=8e-x ⇒ B= 1
4Ccosx=4cosx ⇒ C= 1
4Dsinx=4sinx ⇒ D= 1

Φp=x2ex+x2e-x+cosx+sinx
Φp=x2ex+e-x+cosx+sinx

∴Φx=exc1+c2x+e-xc3+c4x+x2(ex+e-x)+cosx+sinx