Ecuacion diferencial

UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matem´ticas a

´ Optica y Optometr´ ıa Res´menes u Curso 2007-2008

Ecuaciones diferenciales.
Llamaremos ecuaci´n diferencial a una ecuaci´n del tipo o o F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 que liga una variable independiente x y una funci´n y = y(x) junto con una o m´s de sus derivadas. o a A la funci´n y se le llama funci´n inc´gnita. Se llama ordende la ecuaci´n diferencial al de la o o o o derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuaci´n. Se llama soluci´n de la ecuaci´n diferencial o o o a una funci´n y = f (x) que verifica la ecuaci´n. o o Ecuaciones diferenciales de primer orden.Vamos, en esta secci´n, a estudiar la soluci´n de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. o o Una ecuaci´n diferencial de primer orden es unaecuaci´n en la que s´lo aparecen derivadas de primer o o o orden y es del tipo: dy = F (x, y) y = dx una condici´n inicial se puede expresar de la forma y(xo ) = y0 y una funci´n y = f (x) es soluci´n si o o o se cumple f (x) = F (x, f (x)). Ecuaci´n de variables separables.- Se trata de una ecuaci´n del tipo: o o ϕ(x) + ψ(y)y = 0 o bien ϕ(x) + ψ(y) dy = 0, dx

o bien que se pueden reducir a un casocomo este en el que podemos agrupar por separado las dos variables. Entonces podemos proceder como: ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0, de donde se obtiene la soluci´n. o Ecuaciones homog´neas.- Una funci´n de dos variables f (x, y) se llama homog´nea de grado n si e o e verifica, para todo n´mero real λ que: u f (λx, λy) = λn f (x, y) Una ecuaci´n diferencial es homog´nea si se puede escribir de la forma: o e f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0 donde f y g son funciones homog´neas del mismo grado. Entonces haciendo el cambio de variable e y = xv donde v es una funci´n de x v = v(x) derivable; entonces dy = vdx + xdv y la ecuaci´n o o homog´nea se reduce a una ecuaci´n de variables separables. e o Ecuaciones lineales de primer orden.- Una ecuaci´n diferencial de primer orden es una ecuaci´n o o diferencial que s epuede escribir de la forma: y + p(x)y = q(x), donde p y q son dos funciones continuas. o bien dy + p(x)y = q(x) dx luego ϕ(x)dx + ψ(y)dy = C

Si q(x) = 0, la ecuaci´n se llama lineal homog´nea y tenemos una ecuaci´n de variables separables o e o que se puede resolver: dy + p(x)y = 0, dx e integrando obtenemos ln |y| + ln p(x)dx = ln C, y =− C de donde ln |y| − ln C = −
R p(x)dx

luego

dy+ p(x)dx = 0 y

p(x)dx .

p(x)dx y despejando y = Ce−

Si q(x) = 0, resolvemos, como antes, el caso en que q(x) = 0 y entonces hacemos variar la constante c como una funci´n c = c(x) y ponemos o y = c(x)e−
R p(x)dx

;

de donde y = c (x)e−
R

R

p(x)dx

− c(x)e−
R

R

p(x)dx

p(x)

si sustituimos en la ecuaci´n diferencial inicial: o c (x)e− y simplificando c (x)e−
Rp(x)dx

− c(x)e−

p(x)dx

p(x) + p(x)c(x)e−
R

p(x)dx

= q(x)

R

p(x)dx

= q(x),

luego c(x) =

q(x)e

p(x)dx

dx + K

Algunas ecuaciones que no son de este tipo se pueden transformar en lineales; por ejemplo: y + p(x)y = q(x)y n que recibe el nombre de ecuaci´n diferencial de Bernoulli y que, si n = 0 es lineal y si n = 1 es de o variables separables. Si n no es ni 0 ni1, podemos dividir ambos miembros por y n y nos queda: y y + p(x) n = q(x), n y y si hacemos el cambio z = y 1−n tenemos que z = (1 − n)y −n y = (1 − n) y yn por tanto z y = n 1−n y de donde y + p(x)y 1−n = q(x) yn

si sustituimos en la ultima de las expresiones anteriores obtenemos ´ z + p(x)z = q(x) y por tanto z + (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x) 1−n que s´ es una ecuaci´n lineal. ı o Ecuacioneslineales de orden n.- Una ecuaci´n diferencial de orden n es una ecuaci´n diferencial o o en la que aparecen derivadas hasta el orden n del tipo y (n) + p1 (x)y (n−1) + p2 (x)y (n−2) + pn (x)y = q(x) donde las funciones pi (x) con i = 1, . . . , n y q(x) son continuas en un intervalo adecuado. Si q(x) = 0 la ecuaci´n se llama homog´nea. o e Hemos de tener en cuenta las propiedades siguientes: 1....