ecuacion diferencial

Definición de la ecuación diferencial de orden n
Los nombres de la ecuación diferencial se colocan de forma muy significativa. Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial de primer orden es aquella que consiste en un diferencial de primer orden, esto es, y’ o (dy/dx). Del mismo modo, una ecuación diferencial de segundo orden consiste en un diferencial de segundo orden. Un concepto similarse puede extender para definir la ecuación diferencial de orden n.
Esto es, una ecuación diferencial de orden n es aquella que consiste en un diferencial de orden enésimo. Un diferencial de orden enésimo es del tipo y(n) o (dny/ dxn).Una ecuación diferencial general de orden enésimopuede representarse como,

Muchos de los problemas matemáticos en el campo de la física, ingeniería, etc.puedenser modelados con la ayuda de la ecuación diferencial de enésimo orden. Por ejemplo, sea un sistema de resortes y masa m. La constante elástica del resorte sea k. entonces el sistema mecánico que representa este sistema para la fuerza de restauradora del resorte es,

En la ecuación anterior, g(t) representa las fuerzas externas y, la fuerza de amortiguación es directamente proporcional a lavelocidad del sistema. Sea la posición inicial x(t0) en el tiempo t0. Entonces, la velocidad inicial puede ser determinarse, esto es, x’(t0). Por lo tanto, al resolver el diferencial de segundo orden, obtenemos el problema de valor inicial,

El orden de la ecuación diferencial de enésimo orden es n. Esto es, el orden de la ecuación diferencial es igual al orden del mayor diferencial que aparece enla ecuación diferencial dada. Como se mencionó anteriormente, el concepto de una ecuación diferencial de orden n es una extensión de la ecuación diferencial deprimer o segundo orden. Esto implica que es posible implementarlos resultados formulados para la ecuación diferencial de primer y segundo orden se pueden también fácilmente para la ecuación diferencial de enésimo orden. Algunos de estosresultados se discuten a continuación:
1. Si en la ecuación de mayor diferencial de la función conocida, esto es, Q(x) y los coeficientes de la función desconocida, es decir, f0(x), f1(x), f2(x) … fn-1(x) son definidos para alguna variable x en algún par de intervalos cerrados de forma continua, es decir, ninguna de la funciones resulta cero en cualquier punto dentro del intervalo dado, entonces porcada punto en ese intervalo y para todas las constantes c0, c1, c2 … cn-1 tenemos una función única que puede satisfacer los pre-requisitos iniciales dados como,

2. La transformación lineal de la ecuación diferencial de orden enésimo puede representarse como,

Extendiendo el resultado anterior, si tenemos y1, y2, y3 …, yn como las soluciones a la ecuación L(y) = 0, entonces puede existirmás de una solución a esa ecuación, la cual puede representarse como,

La transformación lineal de una ecuación diferencial de orden enésimo tiene n soluciones linealmente independientes. 3. El wronskiano de las funciones diferenciables puede ser dado por,

4. La solución general de una ecuación diferencial de orden n se puede dar como,

Aquí yc es la solución general de la ecuación y yp esla solución particular de la ecuación.
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Problemas de Valor Inicial
Un problema de valor inicial puede ser considerado como una ecuación diferencial que está sujeta a algunospre-requisitos iniciales o condiciones iniciales que ayudan en la determinación de una solución particularpara la ecuación diferencial dada. Las condiciones iniciales son expresadas en términos de la función indefinida dada en la ecuación diferencial.
Matemáticamente, un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria como,

Teniendo en cuenta que,

En la ecuación anterior, es un intervalo abierto, el cual tiene un punto dentro del dominio de la ecuación diferencial dada. Por...