ecuacion en c#

Resolver la ecuación diferencial ordinaria de tercer orden lineal
y (3) + y (2) + y (1) + y = 1
Intenta resolverla utilizando variación de constantes.
Solución:
En este ejercicio veremos que lasecuaciones resultantes de la variación de
constantes tiene solución, pero que esa solución no puede ser integrada analiticamente en funciones elementales.
Primero debemos resolver la ecuaciónhomogénea asociada,
(3)
(2)
(1)
y h + yh + y h + yh = 0
Para ello determinamos su ecuación característica
3
+ 2+ +1
y debemos encontrar sus raices,
Es claro que 1 es una raiz, así que
3
+ 2+ +1
=2+1
+1
y a su vez
2
+ 1 = ( + i) (
i)
Las raices son entonces: 1; i; i
y la solución a la ecuación homogenea es
yh (x) = c1 cos x + c2 sin x + c3 e x
Debemos encontrar ahora una soluciónparticular a la ecuación no homogénea
original. La propuesta para la solución particular es
yh (x) = v1 cos x + v2 sin x + v3 e x
donde las vi son funciones de x que queremos determinar. Construimosla matriz con las derivadas, hasta tercer orden, de las soluciones linealmente
independientes de la solución de la1
ecuación homogénea
0
cos x
sin x
e x
e xA
W = @ sin x cos x
cos x
sin xex
Habrá soluciones para este sistema de ecuaciones cuando el Wronskiano
1
0
cos x
sin x
e x
e x A = ex + e x
det @ sin x cos x
cos x
sin x
ex
sea diferente de cero, que como puede notarsesucede siempre.
Resolvemos ahora el sistema
0
10 01 0 1
cos x
sin x
e x
v1
0
0
@ sin x cos x
e x A @v2 A = @0A
0
cos x
sin x
ex
v3
1
La inversa de la matriz es
0
1
sin x + (cos x)e2x
cos x sin x
sin x
0
1 1 B
C
e2x + 1
e2x + 1
cos x
sin x
e x
B
C
B cos x + (sin x) e2x
cos x sin x C
@ sin x cos x
e xA = B
C
cos x
B
C
e2x x 1
+
e2x x 1
+
cos x
sin xex
@
A
e
e
0
2x + 1
2x + 1
e
e
y por tanto la solución es

1

0

sin x + (cos x) e2x
0 01 B
e2x + 1
v1
B
B cos x + (sin x) e2x
0
@v2 A = B
B
0
e2x x 1
+
v3
@
e
e2x
0...