Ecuacion general de conduccion

Ecuación General de Conducción

Considera el cuerpo sólido mostrado en la figura 1.19

Figura 1.19. Ecuación de conducción.

Con miras a simplificar la demostración de la ecuación deconducción realizaremos el análisis, para el caso de dos dimensiones tal como se muestra en la figura 1.20.

Figura 1.20. Balance de calor para el caso de dos dimensiones.

En balance de calor se hancolocado los calores asociados a cada cara del volumen de control, así como el calor q" G, Calor generado por unidad de volumen [W/m3]. Este calor generado incorpora la posibilidad de que el cuerpo generacalor internamente, como puede ocurrir en una reacción química, en un elemento radioactivo, o bien en un conductor eléctrico. Recordando la Primera ley de la termodinámica, para un sistema cerrado,la cual establece:

Y que en ausencia de trabajo e incorporando la convención de signo para la evaluación del calor neto (calor que entra es positivo, calor que sale es negativo), podemossimplificar a:

Y evaluando cada término, tenemos:

Recordando que el cambio de energía interna para un sólido se determina mediante:

Donde Cv, es el calor especifico a volumen constante. Realizandoexpansiones en serie de Taylor y reteniendo solamente los términos de primer orden, se tiene para los flujos de calor en las diversas caras.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en el balance decalor, se tiene:

Empleando la Ley de Fourier para la determinación de los calores, tenemos:

Y sustituyendo finalmente en la ecuación, y simplificando por ∆x∆y∆z, se llega a la Ecuación Generalde Conducción para el caso de dos dimensiones, 2-D

Interpretación física de cada término de la ecuación de conducción

A bc d

a: Flujo neto de calor por unidad de área en la dirección x
b: Flujo neto de calor por unidad de área en la dirección y
c: Generación...