ecuacion general de segundo grado



 ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
La ecuación general de segundo grado en dos variables es.
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
Las soluciones de esta ecuación son las llamadas curvas cónicas. Si en el ejemplo siguiente el alumno aumenta el valor de b, podrá observar que la curva pasa de ser una circunferenciaa ser una elipse, una parábola (cuando b=0.4) y luego una hipérbola (cuando b>0.4). 
Lasgráficas de todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables son curvas cónicas, aunque a veces se trate de cónicas degeneradas como pueden ser un par de rectas, una sola recta, un punto o nada. El número b2-4ac se llama el discriminante de la ecuación y su valor determina el tipo de curva.
Si b2-4ac < 0 la ecuación es de tipo elíptico y su gráfica puede ser una elipse, una circunferencia,un punto o vacía.
Si b2-4ac = 0 la ecuación es de tipo parabólico y su gráfica puede ser una parábola, dos rectas (paralelas) o una recta.
Si b2-4ac >0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.
Historia[editar]

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Elresultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos soluciones sean positivas). También el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute lasolución de estas ecuaciones.
Fórmula cuadrática[editar]

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación queproporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
donde el símbolo ± indica que los valores
x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} y \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
constituyen las dos soluciones.
Discriminante[editar]


Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0:posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):
\Delta = b^2 - 4ac.\,
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o biendos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}.
Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de lasabscisas: X):
-\frac{b}{2a} . \,\!
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– eldiscriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática[editar]

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:
ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable {x^2}^{}=u
Con lo que nos queda: {au^2}^{} + bu + c = 0 El resultado...