Ecuacion Lineal

ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación lineal en las n variables x1, x2,…, xn se define como una ecuación que se expresar en la forma:
a1x1 + a2x2 +… + anxn = b
Donde a1, a2,…, an y b son constantes reales. Las variables en una ecuación lineal algunas veces se denominan incógnitas.
Las ecuaciones siguientes son lineales:
a) x + 3y = 7
b) y = (1/2)x +3z + 1
c) x1 - 2x2 - 3x3 + x4
d) x1 + x2 + . . . + x n
Una ecuación lineal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas solo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.
Las ecuaciones siguientes no son lineales:
a) x + 3y2 = 7
b) y – sen x = 0
c) 3x + 2y -z + xz = 4d) x1 + 2x2 +x3 = 1
Una solución de una ecuación lineal a1x1 + a2x2 + … + anxn= b es una sucesión d números s1, s2, . . . ,sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1 = s1, x2= s2, . . . , xn = sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación se denomina conjunto solución o solución general de la ecuación.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un conjunto deecuaciones lineales en las variables x1, x2,…,xn se denomina sistemas de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, . . . ,sn se denomina solución del sistema si x1 = s1, x2= s2, . . . , xn = sn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen lastres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitaspuede ser escrito en forma ordinaria como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. Elsistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
TIPOS DE SISTEMAS
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
* Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
* Sistemacompatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
* Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
* Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (híper) planos o rectas que se cruzan sincortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (híper) planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper) planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque eldeterminante de la matriz es diferente de cero. Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero.
MATRIZ AUMENTADA
En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.
Sean las matrices A y B, donde

Entonces la matriz...