Ecuacion Logistica

La ecuación logística
La ecuación logística es una de los  ejemplos más ricos de la matemática. Está definida por la iteración
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donde el valor inicial x0 es 0  x0 1 y el parámetro 0  r 4. En otras palabras, dado un valor inicial 0  x0  1, generamos un nuevo valor x1 a partir de la relación x1=rx0(1x0) y luego repetimos el proceso para generar x2  a partir de  x1, y asísucesivamente. Esta recurrencia viene a ser iterar la ecuación x=f(x), donde f(x)=rx(1-x). Justamente se tiene que f : [0,1] --->cuando el parámetro es 0  r  4.
Los punto fijos de x=f(x) son lassoluciones de la ecuación
x= r x (1-x) |
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Resolviéndola, aparecen  los dos puntos fijos p1=0 y  p2=(r-1)/r.  Con una calculadora, o con matlab, podemos calcular
fácilmente los  términos de estaiteración. Por ejemplo, si hacemos sucesivamente con matlab
 
>>r=0.5; >> x=0.8; >> x=r*x*(1-x) >> x=r*x*(1-x)  .... |
iránapareciendo los términos correspondientes al parámetro r=0.5 empezando la iteración en x0=0.8. Se observa que
para este r=0.5,  la órbita tiende a 0, cualquiera que sea el x0. Cuando r=0.7 ocurre lo mismo.Pero para r=1.5  los
valores xn  se acercan a 1/3. Cuando r=2, se acercan ahora a 0.5.  Quizás sorprendentemente, a partir de r>3, aparece una
bifurcación, ya que por ejemplo, con r=3.2 lossucesivos términos xn van oscilando entre 0.5130456... ,  0.799456...
Al aumentar r, cada uno de estos límites se bifurca a su vez. Así por ejemplo para r=3.5 aparece un ciclo de periodo 4 dado por0.38282.., 0.82694..., 0.50088..., y 0.87500.. . Para r=3.55, las órbitas forman ahora un ciclo de periodo 8. Pero, si seguimos
aumentando r, los términos van tomando valores uno tras otro sin ningúnesquema aparente, es el caos. A veces aparece un cierto
orden, por ejemplo el parámetro  r=3.835 da ahora periodo 3. Pero se van alternando incomprensiblemente orden y caos.
    En la tabla...