Ecuacion Polar (Elipse)

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad De Ingeniería

Geometría Analítica

Análisis de una curva representada por una ecuación polar.

Profesor: Ing. Rubén Hinojosa Rojas

Integrantes:
Gudiño Gómez Salvador
Medina Reyes Osvaldo Avir
Cortés González César
David Gonzales Munguia
12-Nov-2012

Análisis de una curva representada por una ecuación polar.Ecuación polar de la elipse.

Objetivos:

Identificar algunas características de una curva de la cual se conoce su ecuación polar.

Introducción:
La intensión del presente trabajo es dar una descripción de una curva en su lenguaje matemático, tomando como punto de referencia la elipse la cual es una curva que es posible examinar distintas características de la misma en el plano polar deigual manera se da una explicación en forma cartesiana.

Si lo vemos desde el punto de vista histórico en época del Renacimiento, si la elipse es la curva de Kepler, la parábola será la de Galileo, el padre de la cinemática que paso a dar lugar a las cónicas. Los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

Como un puntorepresentativo a mayor escala La primera Ley Los planetas es un ejemplo claro de cómo se describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.

Características de la elipse:

-En una representación polar estarán relacionadas implícita o explícitamente las variables r, θ.

-Se usarán radianes para medir los argumentos de todos los puntos en las ecuaciones que se estudien.
-Lo que debecuidarse es que si se desea calcular el módulo de un punto θ = 1.

-Las curvas expresadas en forma polar siempre son planas.

-Un punto P(r, θ) puede estar representado por una infinidad de parejas de coordenadas polares:

Descripción matemática de una elipse.

a) Ecuación Cartesiana de la elipse:

Trazar la grafica de la elipse:

x2+4y2-6x-16y+21=0
Agrupando términos semejantes ypasando 21 del otro lado.
x2-6x+4y2-16y=-21

Agrupando con paréntesis
x2-6x+4y2-16y=-21

x2 y y2 debe tener coeficiente 1 factorizando:

x2-6x+4y2-4y=-21

Completando el trinomio cuadrado perfecto sacando mitad al factor 6 de x y al facto 4 de y elevando al cuadrado ambos factores y colocar en sus respectivos lugares:

x2-6x+9+4y2-4y+4=-21

Balanceando la ecuación tenemos:x2-6x+9+4y2-4y+4=-21+9+16

Factor izando la ecuación:
x-32+4y-22=4
La ecuación siempre debe ser igualada a 1, entonces dividimos todo entre 4:

(x-3)24+4(y-2)24=44

Finalmente obtenemos:

x-324+y-21=1 … (1)

A partir de la ecuación de la elipse es posible obtener su centro c(h,k):

x-h2a2+y-k2b2=1

Tomando a –h y a –k de la ecuación (2) e igualando con la ecuación (1) forma:-h=-3
-K=-2
Multiplicando por -1.
-1-h=-3
(-1)(-k=-2)
h=3
k=2

Distancia del centro a los focos de la elipse
C(3,2)

Para determinar los valores de a y b se iguala de la misma forma

a2=4→4=2
b2=1→1=1
a=2; b=1
Para c :

c=a2+b2
c=42+12
c=3

Entonces ya encontramos a, b, c y el centro y nos es posible graficar.

A) Ecuación polar de una Elipse:

Sea b²x²+a² y²=a²b²la elipse.Sustituyendo, se obtiene, sucesivamente:

b²r²cos² θ +a²r²sen² θ =a²b²;

Factorizando:

r²(b²cos² θ + a²sen² θ)=a²b²

de donde:

r²=a²b² b²cos² θ + a²sen² θ


Dividiendo ambos términos del quebrado entre a² y sustitúyase sen² θ por (1-cos² θ):


r2=b² b² a² cos2θ+a2a2(1-cos2)



r2=b²1-cos² θ a²-b²a²



Sustitúyase a²-b² por c² y c² /a² por e²; resulta:
r2=b21-e²cos² θ

Finalmente:

r =± b1-e2-cos²θ


B) Ecuación Polar de la Elipse (Polo en un foco).


Sean F´ el polo F´x el eje polar, M(r, θ) un punto móvil de la curva,F´M=r y FMr´F´M=(figura).

Por la propiedad de la curva, se tiene :

r + r´=2a
r´=2a-r
b2=4a2
r2=4a2-4ar+r2…(1)

El...