Ecuacion Vectorial

Ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser coplanario con y .




Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuación general o implícita del plano
Unpunto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ• Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal
El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector , y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:


Ejercicios
1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a y .




2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1,4) y contiene al vector .



3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).








4Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.



5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0),B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).



Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:



6Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.
Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, , será el vector director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

7Hallar la ecuación del plano que pasa por elpunto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector .



Ecuación del plano
Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vector es u y v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano, llamados vectores directores del mismo.

Sea un plano π que tiene como vectoresdirectores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.


 Que expresada en coordenadas: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t•(u1,u2,u3)+s•(v1,v2,v3) ECUACIÓN
VECTORIAL
 A partir de aquí podemos escribir: x=x0+t•u1+s•v1
y=y0+t•u2+s•v2
z=z0+t•u3+s•v3 ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
 Los vectores PP0, u y vson dependientes:
x-x0=t•u1+s•v1y-y0=t•u2+s•v2
z-z0=t•u3+s•v3
desarrollando: Ax+By+Cz=D ECUACIÓN
GENERAL
 Si n=(A,B,C) es un vector normal al plano yP0(x0,y0,z0) un punto del mismo A•(x-x0)+B•(y-y0)+C•(z-z0)=0 ECUACIÓN
NORMAL
De la ecuación vectorial a la general

Hallar la ecuación de un plano que tiene como vectores irectores u(2,0,0), v(0,2,0) y pasa por el punto P0(1,1,2).
 Ecuación VECTORIAL:(x,y,z)=(1,1,2)+t(2,0,0)+s(0,2,0)
 Ecuaciones PARAMÉTRICAS:
x=1+2t, y=1+2s, z=2
 Ecuación GENERAL:
Desarrollando el determinante:

resulta 4z-8=0 ó z=2






Ecuación normal del plano

Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
P0(1,1,2) y tiene como...