Ecuacione s difereciales ordinarias

FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES EN EL CONTEXTO DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES (*)

Ramón Mahía Junio 1998.

(*) Este documento forma parte de la Tesis Doctoral enmarcada en el área del análisis de cointegración del mismo autor y dirigida por D. José Vicéns Otero.

ÍNDICE DE CONTENIDO
- INTRODUCCIÓN 1.- DEFINICIONES PRINCIPALES.Forma estructural y reducida de una ecuación en diferencias 2.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. Conceptos previos 3.- SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS POR ITERACIÓN 4.- SOLUCIÓN HOMOGENEA Y PARTICULAR. Planteamiento 4.A.- Obtención de la solución homogénea: ecuación y raíces características. Ecuaciones de segundo grado 4.B.- Obtención de la solución homogénea a partir del polinomio deretardos 4.C.- Condiciones de estabilidad de la solución homogénea de una ecuación de segundo grado. Caso 1. Raíces reales y distintas. Caso 2. Raíces reales e idénticas. Caso 3. Raíces imaginarias 4.E.- El celebre círculo unitario 4.D.- Obtención de la solución particular. Solución particular con procesos de fuerza g(t) deterministas. Caso 1. g(t) constante. Caso 2. g(t) función del tiempo (ytcon tendencia determinista). Caso 3. g(t) exponencial (caso específico de yt con tendencia determinista no lineal) 4.E.- Aproximación matemática al concepto de raíz unitaria 4.F.Solución particular con procesos de fuerza estocásticos

5.- UN EJEMPLO PRÁCTICO COMPLETO

Ecuaciones en diferencias para el análisis de series temporales

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FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES ENDIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES EN EL CONTEXTO DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES Desde que a principios de los años 70 se presentara la metodología ARIMA como una herramienta útil para “modelizar” el comportamiento de algunas magnitudes susceptibles de ser representadas como una serie temporal, el análisis de series se ha convertido en una referencia econométrica indispensable. Aunque el usode los modelos de series temporales nacidos a partir de entonces se ha visto en cierto modo eclipsado durante muchos años por enfoque estructural, poco a poco se han ido abriendo espacios de aplicación, oportunidades de desarrollo de estas técnicas a la sombra, muchas veces, de la falta de adecuación perfecta de los modelos “clasicos”1. El campo original aportado por Box y Jenkins fue creciendocon la incorporación del concepto de estacionariedad, las preocupación por la modelización de series estacionarias y el planteamiento de lo que vino a llamarse modelos de corrección de error. En las últimas dos décadas, la idea de la cointegración no ha venido más que a confirmar las posibilidades del análisis de series temporales aportando una herramienta muy valiosa de modelización del equilibrioa largo plazo entre variables. Este “nuevo2” camino ha posibilitado un resurgimiento claro de esta otra forma de análisis y, hoy en día, debe formar parte esencial de cualquier económetra. A la hora de abordar cualquier aspecto relacionado con la cointegración y, en general, con el estudio de series temporales, nos encontramos con múltiples referencias matemáticas al tema de las ecuaciones endiferencias ya que el aspecto fundamental de esta disciplina es, obviamente, la consideración del “tiempo”. Si no se dispone de una base adecuada de conocimiento de esta materia, la comprensión de determinadas propiedades, desarrollos y conceptos resulta más compleja. En realidad, el análisis de series temporales supone la estimación de ecuaciones en diferencias que contienen componentes estocásticos.En general cuando se emprende al principio el estudio de una nueva herramienta, la tentación empuja a no empezar por el principio obviando, si es posible, el abundante aparato matemático que requiere la aplicación de la misma. En el caso del análisis de series temporales, esto no es posible, dado que el desarrollo matemático ha sido importante desde un principio y en cualquier texto las...