Ecuaciones 1

ÁLGEBRA
“Ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones”

En esta actividad aprenderás a:
• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita,
sean éstas numéricas, literales o fraccionarias .

• Reconocer los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones,
estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro.
• Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene infinitassoluciones
y cuándo no tiene solución.
• Aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en
problemas de planteo.

Contenidos
2.5 Ecuación de primer grado con una
incógnita
2.5.1 Ecuaciones numéricas
2.5.2 Ecuaciones literales
2.5.3 Ecuaciones fraccionarias

2.6 Sistemas de ecuaciones
2.6.1 Métodos de resolución
2.6.1.1 Igualación
2.6.1.1 Sustitución
2.6.1.1 Reducción

2.7. Ecuación de primergrado
Es aquella, en que el mayor
exponente de la incógnita es 1 y,
por lo tanto, tiene una solución.

2.7.1 Ecuaciones numéricas
Ejemplos:
/ Restando 2x
a 5x + 10 = 2x + 22
) 5x - 2x +10 = 2x + 22 -2x
3x + 10 = 22

/ Restando 10

3x + 10 – 10 = 22 - 10
/ Dividiendo por 3

3x = 12
3x = 12
3
3



x = 4

4 es solución de la ecuación, es decir, al
reemplazar 4 en la ecuación, se cumple laigualdad.

b) 10x + 7 - 6x + 9 = 4x + 16 / Reduciendo
términos semejantes
4x + 16 = 4x + 16

/

Restando 16

4x + 16 – 16 = 4x + 16 - 16
4x = 4x

/

Restando 4x

4x – 4x = 4x – 4x
0 = 0
Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y
se llega a una igualdad, la ecuación tiene
“INFINITAS SOLUCIONES”, es decir, para cualquier
valor de x se cumple la igualdad.

c) 8x + 2 + 3x = 9x + 12 +2x
11x + 2 =11x + 12

/

/ Reduciendo
términos semejantes
Restando 2

11x + 2 -2 = 11x + 12 -2
11x = 11x + 10

/

Restando

11x

11x – 11x = 11x + 10 – 11x
0 = 10
Cuando en una ecuación, las incógnitas se
eliminan y
NO se llega a una igualdad, la ecuación “ NO
TIENE SOLUCIÓN”, es decir, no existe un valor
para x que cumpla la igualdad.

2.7.2 Ecuaciones literales
Ejemplos:
Determinar el valor de x en lassiguientes
ecuaciones:
a) px + q = qx + p

/ - qx

px + q – qx = qx + p - qx
px + q – qx =
/ - q
p
px + q – qx - q = p - q
px – qx = p - q

/ Factorizando por x

x(p– q) = p q
x = 1

/ Dividiendo por (p-q), con p = q.

b) a(x + b) = ac - ax / Multiplicando
ax + ab = ac - ax

/ Sumando ax

ax + ax + ab = ac - ax + ax
2ax + ab = ac

/ Restando ab

2ax + ab - ab = ac - ab
2ax = ac - ab
2ax = a(c – b)2ax = a(c – b)
2a
2a
x = (c – b)
2

/ Factorizando por
a
/ Dividiendo por 2a, con a =
0

2.7.3 Ecuaciones fraccionarias
Un método muy útil para resolverlas es eliminar
los denominadores y dejarlas lineales.
Ejemplo:
Determine el valor de x en la siguiente
ecuación:
3 x + 3
5
15
3 x +
5

=

3
.
x - 2
10

1 = 3 x - 2
5
10

/ Simplificando

/ Multiplicando por 10

10∙ 3 x + 10∙ 1 = 10∙ 3 x – 10∙2
5
510
2∙3x + 2∙1 = 1∙3x - 20
6x + 2 = 3x - 20

/ Simplificando

6x + 2 = 3x -20

/ Restando 3x

6x - 3x + 2= 3x – 3x - 20
3x + 2= -20

/ Restando 2

3x + 2 - 2 = -20 - 2
3x = -22
3x =
3
x =

-22
3
-22
3

/ Dividiendo por 3

2.8. Sistemas de Ecuaciones
Es un conjunto de ecuaciones donde
hay más de una incógnita.
Para determinar el valor numérico
de cada una de ellas, debe existir
la misma cantidadde ecuaciones
que de incógnitas, es decir, si
hay 3 incógnitas, debe haber 3
ecuaciones distintas.

2.8.1. Métodos de resolución de un sistema
de ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas
• Igualación:
Consiste en despejar la misma incógnita
en ambas ecuaciones del sistema.
Una vez despejada, se igualan los
resultados.
El resultado obtenido se reemplaza en
cualquiera de las ecuacionesoriginales del
sistema.

Ejemplo:
1) 2x + 3y
2)

x

-

= 7
4y = -2

Despejando x en ambas ecuaciones:
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 - 3y

2)

x
x

x = 7 - 3y
2
Igualando ambas ecuaciones:
7 - 3y = -2 + 4y
2

-

4y = -2

= -2 + 4y

7 - 3y = -2 + 4y
2
7 – 3y = -4 + 8y

/ Multiplicando
por 2
/ + 3y

7 – 3y + 3y = -4 + 8y + 3y
7 = -4 + 11y

/ + 4

7 + 4= -4 + 11y + 4
11= 11y

/ :11

1= y

Reemplazando en...