Ecuaciones 1c2ba Y 2c2ba Grado

Igualdades y ecuaciones
La balanza está en equilibrio.
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
Representa una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas unidas por el signo igual, (=).
Una igualdad tiene dos miembros, el primero es la expresión que está a la
izquierda del signo igual, y el segundo, el que está a la derecha.
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
1er miembro

2º miembro

Laigualdad x + 20 = 10 + 20 es una ecuación. La letra x se llama incógnita,
porque su valor es desconocido.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
Una ecuación también se llama igualdad algebraica.

Clasificación de las ecuaciones
Las ecuaciones se clasifican atendiendo al número de letras o incógnitas
y al término de mayorgrado.
Ejemplos:
x + 10 = 20 – 12 es una ecuación de primer grado con una incógnita.
2x + 2y = 100 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
x2 = 16 es una ecuación de segundo grado con una incógnita.
xy = 12 es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas.
x3 – x2 + 5x = 10 es una ecuación de tercer grado con una incógnita.
EJERCICIO PROPUESTO
Sustituye en cada caso, la letra o letraspor números para que se verifique la igualdad.

a) a – 3 = 10
a = 13

b) 5x = 100
x = 20

c) x + y = 8
x = 1, y = 7
x = 5, y = 3

d) 5 + 2x = 15

e) x2 = 16

x=5

x=4
x=–4

Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que al
sustituirlos en la ecuación hacen que se verifique la igualdad.
Ejemplo 1:
¿Cuáles son los valores de x que al reemplazarlos enla ecuación 5 + x = 8
hacen que se cumpla la igualdad?
Existe un solo valor: es x = 3, porque 5 + 3 = 8.
Ejemplo 2:
¿Con una cuerda de 100 cm podemos formar muchos rectángulos. La condición
que deben cumplir sus lados viene expresada por la ecuación 2x + 2y = 100.
La ecuación anterior, 2x + 2y = 100, tiene infinitas soluciones.
Algunos pares de valores son: x = 30, y = 20; x = 40, y = 10; x = 25,y = 25.
Comprobamos la primera pareja: 2 · 30 + 2 · 20 = 60 + 40 = 100.
Ejemplo 3:
¿Cuáles son los valores de x que al reemplazar en la ecuación x 2 = 36 hacen que
la igualdad se verifique?
Hay dos valores: x = 6 y x = –6, pues: 62 = 36 y (–6)2 = 36.
Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.

Colegio El Valle

Ecuaciones equivalentes
La solución de las siguientes ecuaciones es x = 6:Sustituyendo:

a) 4x – 12 = x + 6
b) 3x = 18
c) x = 6

4 · 6 – 12 = 6 + 6 = 12
Las tres ecuaciones
3 · 6 = 18
son equivalentes.
Es evidente.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
Ecuación
3x + 4 – x = 7 + x
dada: 4 a cada miembro.
Restamos
3x + 4 – x – 4 = 7 + x – 4

2x = 3 + x

Restamos x a cada miembro

2x– x = 3 + x – x
Comprueba que x = 3 es la solución de las tres ecuaciones.

x=3

Colegio El Valle

Regla de la suma
Regla de la suma y transposición de términos

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta el mismo
número o la misma expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente
a la dada.
Ejemplo:

Para resolver la ecuación

Restamos 4x:
Sumamos 7:
Operamos:

5x –7 = 28 + 4x
5x – 7 – 4x = 28 + 4x – 4x

5x – 7 – 4x + 7 = 28 + 4x – 4x + 7
x = 35

Aplicar la regla equivale a transponer términos, pasándolos de un miembro a
otro cambiándolos de signos.
En la práctica
Se pasa 4x al primer miembro restando:
Se pasa 7 al segundo miembro sumando:
Se opera:

5x – 7 = 28 + 4x
5x – 7 – 4x = 28
5x – 4x = 28 + 7
x = 35

Colegio El Valle

Regla del producto
Regla delproducto y simplificación de términos

Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un mismo
número, distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:

Para resolver la ecuación

Multiplicamos por 2:
Dividimos por 5:

5
x 270
2
5
2 · x 2 · 270
2
x = 108

5x = 540

La regla del producto permite simplificar términos.
En la práctica

5
x 270
2

Se...