Ecuaciones analíticas de deformación plana.

Ecuaciones analíticas de deformación plana.

Primero se derivará una expresión para la deformación normal E (ɵ) a lo largo de una línea AB que forma un ángulo arbitrario ɵ con el eje x. Parahacerlo considere el triángulo rectángulo ABC con AB como hipotenusa y el triángulo oblicuo A1B1C1, en el cual se transforma el triángulo ABC, se tiene:
(A1B1)^2= (A1C1) ^2 + (C1B1) ^2 -(A1C1)(C1B1)cos(π/2+ Ɣxy)
(Δs) ^2 { 1+ E(ɵ)}= (Δx) ^2( 1+Ex) ^2 + (Δy) ^2(1 + Ey) ^2
-2(Δx)(1+Ex)( Δy)(1+Ey) cos(π/2 + Yxy) [1]
pero de la figura 2,
Δx=( Δs) cos(ɵ)  Δy=( Δs)sen(ɵ) [2]
y, como Ɣxy es muy pequeño
Cos( π/2 + Ɣxy) = -senƔxy = -Ɣxy  [3]
Sustituyendo de las ecuaciones [2] y [3] en la ecuación [1],
se escribe
E(ɵ)= Ex cos^2 ɵ + Ey sen^2 ɵ + Ɣxy sen ɵcosɵ  [4]
La ecuación [4] permite hallar la deformación normal E(ɵ) en cualquier dirección AB, en función de las componentes de deformación Ex,Ey, 'Ɣxy,y del ángulo ɵ que forma AB con el eje x. Observeque, para ( ɵ= 0), la ecuación [4] produce E (ɵ) = Ex, y que, para ɵ = 90°, da E(90°) = Ey.

El propósito principal de esta sección es expresar las componentes de la deformación asociadas con elmarco de referencia x1y1 de la figura 3 en términos del ángulo  y de las componentes Ex, Ey y Yxy, asociadas con los ejes x y y se nota que la deformación normal Ex1 a lo largo del ejex1 esta dada porla ecuación [4]. Se escribe esta ecuación en la forma alternativa
Ex1=(Ex + Ey)/2 + (Ex - Ey)/2 cos2 ɵ +Ɣxy/2 sen2ɵ [5]
Remplazando ɵ por ɵ + 90°, se obtiene la deformación normal a lo largo deleje y1. Como cos (2 ɵ + 180°) = cos 2 ɵ y sen (2  + 180°) = -sen 2 
Ex1=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 cos2 ɵ -Ɣxy/2 sen2ɵ [6]
Sumando miembro a miembro las ecuaciones [5] y [6]
Ex1+ Ey1= Ex + Ey  [7]Puesto que Ez = Ez1 = 0, se verifica, en el caso de la deformación plana, que la suma de las deformaciones normales asociadas con un elemento cúbico de material es independiente de la orientación del...