Ecuaciones cuadráticas y lineales

Tema 1
Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Una Ecuación Lineal o de primer grado es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra sumas y restas de una variable a la potencia de uno. Las ecuaciones lineales puedenrepresentarse en el plano cartesiano en una línea recta, con la siguiente ecuación.
y=mx+b
Donde m representa la pendiente y b es el intercepto en y.
El intercepto en y está expresado por: (0,b) donde la recta corta el eje en y.
El intercepto en x está expresado por: (a,0) donde la recta corta el eje en x.
Ejemplo 1
Buscar el intercepto en y de la ecuación:
y=3x+-5
Solución:
b=-5 Quieredecir que el intercepto en y es (0,-5)

Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
2x+4 =9
2x =9-4
2x=5
x=5/2
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación
5-2/3 x = -9-5
-2/3 x = -14
-2x = -42
x=21
Ecuaciones Lineales
Método por eliminación
En el método por eliminación como su nombre lo dice, debemos eliminar una de las incógnitas, sean estas por ejemplo: x,y,z.
Ejemplo 1
2x+3y=2 Ecuacion 1
x-2y =8 Ecuacion 2
Para eliminar la incógnita se invierten los coeficientes de las ecuaciones eliminando y.
2(2x+3y =2)
3(x-2y=8)
El 2 es el coeficiente de y de la ecuación 2 y el 3 es el coeficiente de y en la ecuación 1.
4x+6y =4
3x-6y=24
Ahora si podemos eliminar la y y despejamos la x para sacar su valor
4x=4
+ 3x=24
7x =28
7x =28
x = 28/7
x=4Después sustituir el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y
2x+3y =2
2(4)+3y=2
8+3y=2
3y=2-8
3y=-6
y=-□(6/3)
y=-2
Entonces x=4 y y=-2
Comprobación: 2(4)+3(-2)=2
8-6=2
2=2
Ejemplo 2
2x+y=11 Ecuacion 1
x+3y =18 Ecuacion 2
Invertir los coeficientes de las ecuaciones eliminando x
2x+y=11
-2(x+3y=18)
El 1 es el coeficiente de xen la ecuación 2 y el -2 es el coeficiente de x en la ecuación 1
2x+y=11
+ -2x-6y=-36
-5y=-25
Ahora eliminar la x y despejamos la y para encontrar su valor
y = (-25)/(-5)
y=5
Sustituir el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones y encontramos el valor de x
2x+5=11
2x=11-5
2x=6
x=6/2
x=3
Entonces y=5 y x=3
Comprobación: 2(3)+ 5 =11
6+5=11
11=11Ecuaciones Lineales
Método de Sustitución

Se puede resolver un sistema de dos ecuaciones, cada una con dos variables, por sustitución, siguiendo los siguientes pasos:
Es necesario despejar una variable de una de las ecuaciones, de preferencia una variable cuyo coeficiente sea 1.
Sustituya la variable despejada en la ecuación 1 y resolver la ecuación resultante.
Determine el valor de la primeravariable sustituyendo el valor que se determino en el paso dos, en cualquiera de las dos ecuaciones que contienen dos variables.
Enuncie la solución
Compruebe la solución en las dos ecuaciones originales.

Ejemplo 1
Resuelva las ecuaciones:
4x+y=13 / -2x+3y=17
Paso 1
4x+y=13
y=-4x+13
Paso 2
-2x+3y=17
-2x+3(-4x+13)= -17
-2x-12x+39=-17
-14x=-56
x=4
Paso 3
y=-4x+13
y=-4(4)+13y=-3
Paso 4
x=4 ;y=-3
(4,-3)
Paso 5
4x+y=13
4(4)+(-3)=13
16-3=13
13=13

Ejemplo 2
Resuelva las ecuaciones:
3x-y=13 / -4x-y=-1
Paso 1
3x-y=13
y=13-3x
Paso 2
-4x-(3x-13)=-1
-4x-3x+13=-1
-7x=-1-13
x=(-14)/(-7)
x=2
Paso 3
3(2)-13=y
6-13=y
y=-7
Entonces: x=2 ;y=-7
Comprobación: 3(2)—7=13
6+7=13
13=13

Ecuaciones Lineales
Método de Igualación
Un sistemade ecuaciones por este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos son los siguientes:
Se despejo la misma variable en ambas ecuaciones
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una variable que resulta
Se calcula el valor de otra...