Ecuaciones cuadráticas

Lección 6 - Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás definir lo que es una ecuación cuadrática y podrás resolver ecuaciones cuadráticas.

En la lección previa aprendimos lo que es una ecuación y lo que es una ecuación lineal. Aprendimos que en las ecuaciones lineales las variables sólo aparecen a la primera potencia. En las ecuacionescuadráticas aparece la segunda potencia de la(s) variable(s) y podrían también aparecer primeras potencias. Una ecuación cuadrática es una ecuación que puede escribirse en la forma ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 . La siguiente tabla muestra ejemplos y contraejemplos de ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones cuadráticas Ecuaciones no-cuadráticas
−4 x2

3x 2 + 5x + 2 = 0 − 1 y 2 + 2y = 8 + 10y 2 2t 2 −1 = 4

=2+x

9 − x = 3x 12x = 45 = 9 − 2x

Conviene notar que en el primero de los ejemplos de las ecuaciones no-cuadráticas, la ecuación no es cuadrática a pesar de contener una segunda potencia de la variable. La explicación es que al estar en un denominador es como si la variable estuviera elevada a la -2, no a la 2. Las ecuaciones cuadráticas de la forma x = a , son las más fáciles de resolver. Sia es negativo, no hay soluciones en los números reales. Recordemos que el cuadrado de un número real nunca es negativo. Por eso no hay soluciones si a es negativo. Si a es cero, sólo hay una solución: x = 0. Finalmente, si a es positivo, hay dos soluciones: x = a y x = − a . Como las dos soluciones sólo difieren en el signo podemos escribir x = ± a .
2

Ejemplos 1) x 2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ x = ±3 2)3)

u 2 = 64 ⇒ u = ± 64 ⇒ u = ±8

(2t + 1)2 = 25 ⇒ 2t + 1 = 5 ó 2t + 1 = −5
⇒ 2t = 4 ⇒ t=2 ó 2t = −6 ó t = −3

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4) 5)

(3y + 5)2 = 0 ⇒ 3y + 5 = 0 ⇒ 3y = −5 ⇒ y = −5 3
2m 2 + 5 = 3 ⇒ 2m 2 = −2 ⇒ m 2 = −1 ⇒ no hay solución

El tercer ejemplo arriba es importante porque muestra cómo a veces conviene tratar a una expresión como si fuera una variable.En ese caso tomamos a la expresión (2t + 1) como si fuera la x del párrafo previo. El quinto ejemplo ilustra el hecho de que aunque una ecuación cuadrática 2 no luzca inicialmente como de la forma x = a , puede ser re-escrita, usando las propiedades de ecuaciones, para que tenga esa forma. Solución por factorización Una propiedad importante de los números reales es que el producto de dos númerossólo puede ser igual a 0 si al menos uno de ellos es 0. Simbólicamente: ab = 0 ⇒ a = 0 ó b = 0 . Esto implica que si podemos re-escribir la ecuación cuadrática en la forma ab = 0, podemos obtener dos ecuaciones más fáciles de resolver: a = 0 y b = 0. Ejemplos 6) (2x + 1)( x − 3) = 0

⇒ 2x +1 = 0 ó x − 3 = 0 ⇒ 2x = −1 ó x = 3 ⇒ x = −1 ó x = 3 2

Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones y elconjunto de soluciones o conjunto solución es {−1 , 3} . 2 7)

6x 2 +19x +10 = 0 ⇒ (3x + 2)(2x + 5) = 0 ⇒ 3x + 2 = 0 ó 2x + 5 = 0 ⇒ 3x = −2 ó 2x = −5 5 ⇒ x = −2 ó x = −2 3 ⇒ el conjunto solución es {− 2 , − 5 } 3 2 9y 2 + 4 = 12y ⇒ 9y 2 −12 y + 4 = 0 ⇒ (3y − 2)(3y − 2) = 0 ⇒ 3y − 2 = 0 ⇒ 3y = 2 ⇒ y = 2 3

8)

⇒ el conjunto solución es

{2 3}

El ejemplo 8 de arriba muestra que antes deaplicar la técnica de resolver mediante factorización es necesario que la ecuación esté en forma estándar, esto significa que uno de los lados de la

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ecuación es 0. Cuidándonos siempre de tener la ecuación en forma estándar antes de factorizar, podemos usar esta técnica de resolver ecuaciones aún en algunas ecuaciones de mayor grado, como veremos en elsiguiente ejemplo. 9)

u 4 + 5u 3 = −6u 2 ⇒ u 4 + 5u 3 + 6u 2 = 0 ⇒ u 2 (u 2 + 5u + 6) = 0

⇒ u 2 (u + 3)(u + 2) = 0 ⇒ u = 0 ó u = −3 ó u = −2 ⇒ el conjunto solución es {0, −3, −2}
Ejercicios Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones 1) 2x 2 + 5x −12 = 0 2) a 2 − 5a + 6 = 0 3) 4s 2 + 15 = 17s 4) x5 = x3 Respuestas Solución por el completamiento del cuadrado Es siempre posible...