Ecuaciones cuadraticas

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera
 
 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.
 
 
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10
 
 
Hay tres formas dehallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
 
 
Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Realizar lafactorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8
 
(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]
 
( x +   )   (x  -   ) = 0 | |

 
 
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8
 
 
 
 
x + 4 = 0       x – 2= 0
 
 
 
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.
 
 
Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguienteforma:
 
 

4x2 + 12x – 8  = 0
 4        4      4      4 | |

 
x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
 
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]
 
 
 
x2  + 2x + 1    = 8 + 1 | |
x2  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay quefactorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
 
 
 
( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±    | |

 
x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4
 
 
 
Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de laecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
 
 

Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8
 
 
 
 

 
 
x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2
 
   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4
 
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una funciónpolinómica de grado dos definida como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a sea positivo o negativo, respectivamente.
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede factorizaren función de sus raíces. Dada:

se puede factorizar como:

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

En este caso a x1 se la denomina raíz doble,ya que su orden de multiplicidad es 2.
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el...