Ecuaciones cuadraticas

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Melissa Murrias 
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera 
 
 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 
  
 
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10 
  
 
Hay tres formas de hallarlas raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 
 
1. Factorización Simple 
2. Completando el Cuadrado 
3. Fórmula Cuadrática 
  
 
Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 
  
  
  
  
  
  
 
Ejemplo: Realizar la factorizaciónsimple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 
 
(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2] 
 
( x +   )   (x  -   ) = 0


  
 
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8 
  
  
  
 
x + 4 = 0       x – 2 = 0 
  
  
 
x+ 4 = 0      x – 2 = 0 
x = 0 – 4      x = 0 + 2 
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 
  
 
Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 
  
 4x2 + 12x – 8  = 0 
 4        4      4      4


 
x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1. 
 
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] 
x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos] 
  
  
 
x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x2  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.                                  Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. 
  
  
 
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ± 
 


 
x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3 
x = 2               x = -4 
  
  
 
Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 
  
  




Ejemplo:
X2 +2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 
  
  
  
 
 
 
  
 
x = -2 ± 6 
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6 
           2                  2 
 
   x = 4          x = -8 
        2                  2
x = 2      x = - 4 
 
Ecuación cuadrática
Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)


La letra "x" esla variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee lasDefiniciones básicas de Álgebra)


Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

 
En esta a=2, b=5 y c=3
 
 
 

 
Aquí hay una un poco más complicada:
¿Dónde está a? En realidad a=1, porquenormalmente no escribimos "1x2"
b=-3
¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

 
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:


El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así quenormalmente hay dos soluciones!
 
 

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
si es positivo, hay DOS soluciones
si es cero sólo hay UNA solución,
y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .
Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de...