Ecuaciones Cuadraticas

Una ecuación de segundo grado[1] [2] o
ecuación cuadrática de una variable es una
ecuación que tiene la forma de una suma
algebraica de términos cuyo grado máximo es
dos, es decir, una ecuación cuadrática puede
ser representada por un polinomio de segundo
grado o polinomio cuadrático. La expresión
canónica general de una ecuación cuadrática
de una variable es:
donde x representa lavariable y a , b y c son
constantes ; a es el coeficiente cuadrático
(distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el
término independiente. Este polinomio se puede
representar mediante una gráfica de una
función cuadrática o parábola . Esta
representación gráfica es útil, porque la
intersección de esta gráfica con el eje
horizontal coincide con las soluciones de la
ecuación (y dado quepueden existir dos, una o
ninguna intersección, esos pueden ser el
número de soluciones reales de la ecuación).
Historia
El origen y la solución de las ecuaciones de
segundo grado son de gran antigüedad. En
Babilonia se conocieron algoritmos para
resolverla. El resultado también fue
encontrado independientemente en otros
lugares del mundo. En Grecia , el matemático
Diofanto de Alejandríaaportó un
procedimiento para resolver este tipo de
ecuaciones (aunque su método sólo
proporcionaba una de las soluciones, aun en el
caso de que las dos soluciones sean positivas).
También el matemático judeoespañol Abraham
bar Hiyya , en su Liber embadorum, discute la
solución de estas ecuaciones.
Fórmula cuadrática
Para una ecuación cuadrática con coeficientes
reales o complejos existensiempre dos
soluciones, no necesariamente distintas,
llamadas raíces , que pueden ser reales o
complejas (si los coeficientes son reales y
existen dos soluciones no reales, entonces
deben ser complejas conjugadas). Se denomina
fórmula cuadrática[3] a la ecuación que
proporciona las raíces de la ecuación
cuadrática:
donde el símbolo ± indica que los valores
y
constituyen las dossoluciones.
Discriminante
Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real
(multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales
distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de
la raíz cuadrada recibe el nombre de
discriminante de la ecuación cuadrática. Suele
representarse con la letra D o bien con el
símbolo Δ (delta ):
Unaecuación cuadrática con coeficientes
reales tiene o bien dos soluciones reales
distintas o una sola solución real de
multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El
discriminante determina la índole y la cantidad
de raíces.
Dos soluciones reales y diferentes si el
discriminante es positivo (la parábola cruza
dos veces el eje de las abscisas: X):
.
Una solución real doble si el discriminantees
cero (la parábola sólo toca en un punto al eje
de las abscisas: X):
Dos números complejos conjugados si el
discriminante es negativo (la parábola no
corta al eje de las abscisas: X):
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el
discriminante es no nulo, y son números reales
si –sólo si– el discriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática
Éstas sonun caso particular de la ecuación de
cuarto grado. Les faltan los términos a la
tercera y a la primera potencia. Su forma
polinómica es:
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay
que hacer el cambio de variable
Con lo que nos queda:
El resultado resulta
ser una ecuación de segundo grado que
podemos resolver usando la fórmula:
Ahora bien, esto no nos da las cuatro
solucionesesperadas. Aún hemos de deshacer
el cambio de variable. Así las cuatro soluciones
serán:
Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la
forma siguiente: [cita requerida ]
1. Completa. Es la forma canónica :
donde las tres literales : a, b y c , son distintas
de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las
soluciones: 1) dos números reales y
diferentes; 2) dos números reales...