Ecuaciones Cuadraticas

EFunci´n Cuadr´tica* o a
Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1
Una funci´n f : A → B, f (x) = ax2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c ∈ R, a = 0, se o llama una funci´n cuadr´tica. Las funciones cuadr´ticas, a diferencia de las funciones lineales, son funciones en o a a las que aparece la variable independiente (x) elevada al cuadrado, de ah´ el calificativocuadr´tica. La gr´fica ı a a de una funci´n cuadr´tica se denomina par´bola. o a a Dependiendo de los valores que puedan tomar a, b y c, la funci´n cuadr´tica puede variar su forma: o a Cuando b = 0 y c = 0, la forma de la funci´n es y = ax2 o Cuando solo b = 0, la forma de la funci´n es y = ax2 + c o Cuando solo c = 0, la forma de la funci´n es y = ax2 + bx o Recuerde que la gr´fica de la funci´n f: R → R, f (x) = x2 es: a o

Figura 1: Gr´fica de f (x) = x2 a Sea g : R → R, g(x) = ax2 + bx + c una funci´n cuadr´tica. Observe que completando cuadrados tenemos: o a b c y = ax2 + bx + c ⇒ y = a x2 + x + a a = a x2 + 2 · b b2 b2 c x+ 2 − 2 + 2a 4a 4a a b 2a
2

=a x+

+

4ac − b2 4a

= aX 2 + B con X = x + b 4ac − b2 yB= . 2a 4a

As´ podemos ver que la gr´fica de cualquier funci´ncuadr´tica es el resultado de trasladar horizontalmente, ı, a o a alargar o encoger y trasladar verticalmente.
*

Material preparado para Experiencia Docente en Matem´tica. eps2007. a

1

Figura 2: Gr´fica de funci´n cuadr´tica: trasladada horizontalmente, verticalmente y encogida. a o a

1.

Aspectos Importantes
Sea f : A → B, f (x) = ax2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a,b, c ∈ R, a = 0.

1.1.

Concavidad
Si a > 0 → c´ncava hacia arriba. o Si a < 0 → c´ncava hacia abajo. o

Figura 3: C´ncava hacia arriba y c´ncava hacia abajo o o

1.2.

Intersecciones con eje x

Para encontrar las intersecciones con eje x debemos resolver f (x) = 0, es decir, se resuelve ax2 + bx + c = 0 la cual sabemos que tiene como soluci´n o x= −b ± √ b2 − 4ac 2a

La cantidad deintersecciones depende del valor de discriminante: ∆ = b2 − 4ac Si ∆ > 0: Corta en dos puntos al eje x x1 = −b + √ √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac y x2 = 2a 2a 2

Si ∆ = 0: Corta en un punto al eje x x1 = Si ∆ < 0: Corta en ning´n punto al eje x u As´ las intersecciones corresponden a (x1 , 0) y (x2 , 0) ´ unicamente (x1 , 0). ı, o´ −b 2a

1.3.

Intersecciones con el eje y

Para encontrar laintersecci´n con el eje y basta calcular la imagen de 0, es decir, f (0). o As´ si f (x) = ax2 + bx + c entonces ı, f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c Siempre es el punto (0, c) Ejemplo 1.1 Grafique f (x) = x2 − 2x − 3 Soluci´n. o 1. Como a = 1, sabemos que la par´bola es c´ncava hacia arriba. a o 2. La intersecci´n con el eje y es o f (0) = 02 − 2 · 0 − 3 = 3 i.e. la intersecci´n con el eje y es (0, −3)o 3. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos f (x) = 0. Podemos verificar que ∆ > 0, por lo tanto, corta al eje x en dos puntos. f (x) = 0 x2 − 2x − 3 = 0 (x + 1)(x − 3) = 0 es decir, x = −1 y x = 3. Luego, las intersecciones con el eje x corresponden a (−1, 0) y (3, 0). De aqu´ podemos ver que la gr´fica de f (x) corresponde a ı a

Figura 4: Gr´fica de f (x) = x2 − 2x − 3 a1.4.

Eje de Simetr´ ıa

Es la l´ ınea vertical que divide la par´bola a la mitad. a La ecuaci´n del eje de simetr´ est´ dada por: o ıa a x= −b 2a

3

1.5.

V´rtice e

Puede ser un punto m´ximo (cuando es c´ncava hacia abajo) o punto m´ a o ınimo (cuando es c´ncava hacia o arriba). −b −b V = ,f 2a 2a Otra forma: V = −b −∆ , 2a 4a

El v´rtice es el lugar donde el eje de simetr´ cortaa la par´bola. e ıa a

1.6.

´ Ambito
Si a > 0, el ´mbito es a −∆ , +∞ 4a −∆ 4a

Si a < 0, el ´mbito es −∞, a

1.7.

Intervalos de Monoton´ ıa

Para determinar los intervalos de monoton´ de la funci´n cuadr´tica, basta con analizar la concavidad de ıa o a la par´bola y encontrar la primera coordenada del v´rtice. As´ tenemos: a e ı, a > 0: −b , +∞ 2a −b • f decrece en −∞, 2a • f...