Ecuaciones cuasilineales de primer orden

Ecuaciones cuasilineales de primer orden

Yaneth Liliana Rivera

Director: Gilberto Pérez P.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias
Licenciatura en Matemáticas
Tunja, agosto de 2008

i

Índice general
Lista de símbolos

III

Introducción

IV

Objetivos
0.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.Objetivos especí…cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v
v

1. Conceptos básicos
1.1. Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
6

2. Ecuaciones cusilineales de primer orden
2.1. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Ecuacionesde Euler
2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Generación de una super…cie a partir de las curvas características . . .
2.4. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Dependencia continua respecto a los datos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
2.6.1. Condición de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
14
17
24
29
34
35

3. Ejercicios resueltos de EDP cuasilineales

41

Conclusiones

64

Bibliografía

65

ii

V

Lista de símbolos

Números reales.
Espacio Euclídeo n dimensional.
Espacio de funciones continuas en el intervalo [a; b]:
Espacio de funciones con primeraderivada continua en el intervalo [a; b]:
Espacio de funciones con primera derivada continua en R3
Producto interno en Rn
Norma.
Bola de radio r y centro x0 :
Valor absoluto.
Gradiente del campo escalar f
Campo de vectores
Rotacional de un campo F
Divergencia de un campo de vectoresF:
Subconjunto de R3 abierto y conexo.
vol [Br (x0 )] Volumen de una bola de radio r y centro x0
@DFrontera del abierto D
n
Vector normal a una super…cie
det
Función Determinante
R
Rn
C([a; b])
C 1 ([a; b])
C 1 (R3 )
h; i
kk
Br (x0 )
j j
rf
F
rotF
divF

iii

Introducción
La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XV II cuando Newton,
Leibniz y los Bernoulli resolvieron algunas ecuaciones diferenciales sencillas de primero
y segundo orden que sepresentaron en problemas de geometría y Mecánica. Pronto
vieron que relativamente pocas ecuaciones diferenciales podían resolverse con recursos
elementales, fueron dándose cuenta que era en vano el empeño de intentar descubrir
métodos para resolver todas las ecuaciones diferenciales, en lugar de ello, encontraron
más provechoso averiguar si una ecuación dada tenía o no solución y aún cuando tenía,intentar la deducción de propiedades de la solución a partir de la misma ecuación diferencial. Con ello comenzaron a considerar las ecuaciones diferenciales como fuentes de
nuevas funciones. A partir del siglo XIX se desarrolló una fase importante de esta
teoría, siguiendo una tendencia de conseguir un desarrollo más riguroso de cálculo.
Las ecuaciones en derivadas parciales (EDP ); tienen granaplicación en las
diferentes profesiones que se relacionan con la matemática; por ejemplo la física, la
química y la ingeniería, entre otras.
En este trabajo se estudiará el método de las características para solucionar el
problema de Cauhy de ecuaciones cuasilineales de primer orden. Como guía se ha
seguido principalmente el texto [12]. Aunque este tipo de ecuaciones se pueden tratar
para unnúmero cualquiera n de variables independientes, en este trabajo sólo se tratará
el caso n = 2, que permite mostrar de manera más clara la interpretación geométrica
de las soluciones de estas ecuaciones, es decir, se trabaja en un espacio bidimensional.
La redacción de un documento de texto donde se muestren los detalles de los resultados básicos de una teoría con sus ejemplos, tiene como …n...