Ecuaciones de 2do grado
Páginas: 5 (1145 palabras)
Publicado: 8 de agosto de 2010
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma [pic]. donde no se anula a.
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores alser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.
Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula
[pic]
[pic]
[pic]
LLamamos discriminante [pic], en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de laecuación, así:
- Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
-
Si el discriminante es 0 hay una solución.
-
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:
[pic]
[pic]
[pic]
Resolución de una ecuación desegundo grado cuando c=0
Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.
Sacando factor cumún se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0
[pic]
[pic]
Ecuación bicuadrada:
Una ecuación bicuadrada tiene la siguienteestructura [pic].
Para su resolución se realiza el cambio de variable [pic]quedando la ecuación [pic]
Se resuelve la ecuación de segundo grado obteniéndose dos soluciones [pic], luego deshacemos el cambio [pic]para determinar las soluciones de [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
Deshacemos el cambio
[pic]
EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:• 7x2 + 21x − 28 = 0
• −x2 + 4x − 7 = 0
• 12x2 − 3x = 0
• [pic]
2.- Halla las soluciones de las ecuaciones:
• [pic]
• [pic]
3.- Resuelve:
• x4 − 61x2 + 900 = 0
• x4 − 25x2 + 144 = 0
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:
a) x2 + 7x + 12 = 0
b) x2 – 7x – 18 = 0
c) x2 + 2x – 15= 0
d) 2x2 + 11x + 5 = 0
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 25x (x+1) = -4
b) 2x (x+3) = 3 (x-1)
c) (2x-3)2 = 8x
d) 2x (3x – 4) – (1 – 3x) (1 + x) = -2
e)[pic]
f) [pic]
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:
a) 2x2 – 3x – 2 = 0
b) 3x2 + 10x – 8 = 0
c) 4x2 – 29x + 7 = 0
d) 2x2 + 7x –15 = 0
e) 2x2 + 7x – 15 = 0
f) 3x2 + 8x – 6 = 0
g) 10x2 – x – 3 = 0
h) 5x2 – 7x + 2 = 0
i) 6x2 – 11x – 7 = 0
7.- Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
8.- La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
9.- Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.Calcula la edad de Pedro.
10.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
11.- Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
12. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por uncamino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
13.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
14.- Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es [pic].
15.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y...
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma [pic]. donde no se anula a.
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores alser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.
Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula
[pic]
[pic]
[pic]
LLamamos discriminante [pic], en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de laecuación, así:
- Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
-
Si el discriminante es 0 hay una solución.
-
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:
[pic]
[pic]
[pic]
Resolución de una ecuación desegundo grado cuando c=0
Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.
Sacando factor cumún se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0
[pic]
[pic]
Ecuación bicuadrada:
Una ecuación bicuadrada tiene la siguienteestructura [pic].
Para su resolución se realiza el cambio de variable [pic]quedando la ecuación [pic]
Se resuelve la ecuación de segundo grado obteniéndose dos soluciones [pic], luego deshacemos el cambio [pic]para determinar las soluciones de [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
Deshacemos el cambio
[pic]
EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:• 7x2 + 21x − 28 = 0
• −x2 + 4x − 7 = 0
• 12x2 − 3x = 0
• [pic]
2.- Halla las soluciones de las ecuaciones:
• [pic]
• [pic]
3.- Resuelve:
• x4 − 61x2 + 900 = 0
• x4 − 25x2 + 144 = 0
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:
a) x2 + 7x + 12 = 0
b) x2 – 7x – 18 = 0
c) x2 + 2x – 15= 0
d) 2x2 + 11x + 5 = 0
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 25x (x+1) = -4
b) 2x (x+3) = 3 (x-1)
c) (2x-3)2 = 8x
d) 2x (3x – 4) – (1 – 3x) (1 + x) = -2
e)[pic]
f) [pic]
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:
a) 2x2 – 3x – 2 = 0
b) 3x2 + 10x – 8 = 0
c) 4x2 – 29x + 7 = 0
d) 2x2 + 7x –15 = 0
e) 2x2 + 7x – 15 = 0
f) 3x2 + 8x – 6 = 0
g) 10x2 – x – 3 = 0
h) 5x2 – 7x + 2 = 0
i) 6x2 – 11x – 7 = 0
7.- Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
8.- La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
9.- Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.Calcula la edad de Pedro.
10.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
11.- Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
12. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por uncamino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
13.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
14.- Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es [pic].
15.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y...
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