Ecuaciones de 3 y 4 grado

Tema 4.4.1

Ecuaciones de tercer y cuarto grado

La ecuaci´n de tercer grado: f´rmula de Cardanoo
o
Tartaglia

´
El desarrollo de este tema est´ tomado del libro Introducci´n al Algebra, deS.
a
o
Xamb´, F. Delgado y C. Fuertes, Ed. Complutense, Madrid, 1993.
o
Vamos a estudiar ahora la ecuaci´n de tercer grado. Suponemos ahora que
o
f (X) = X 3 + a1 X 2 + a2 X + a3 ∈ Q[X].
Atodos los efectos, el resolver f (X) = 0 equivale a hacer lo mismo para la
ecuaci´n que resulta de sustituir X por X + a1 en f (X). Esta sustituci´n tiene
o
o
3
la ventaja de que elimina el t´rminoen X 2 , luego se puede suponer, de entrada,
e
que
f (X) = X 3 + pX + q.
La sustituci´n anterior se llama de Tchirnhausen.
o
Estudimeos pues las soluciones de
f (X) = X 3 + pX + q = 0.

(1)Podemos suponer que p y q son distintos de 0 (si p = 0, las soluciones de (1)
son las ra´ c´bicas de −q; si q = 0 las soluciones son 0 y las ra´ cuadradas
ıces u
ıces
de −p).
Supongamos que αes una soluci´n de (1). Hagamos la sustituci´n α = u+v.
o
o
Obtenemos:
u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.
Si tomamos u, v de manera que 3uv + p = 0, i.e. u, v ser´ las ra´
ıan
ıces de laecuaci´n cuadr´tica X 2 − αX − p = 0, obtenemos:
o
a
3
u3 + v 3 = −q.
Puesto que
p3
27
3 3
tenemos que u , v son las soluciones de la ecuaci´n cuadr´tica:
o
a
u3 v 3 = −

X 2 + qX −

p3
=0.
27

(2)

As´ pues para encontrar una soluci´n de (1) tomamos una soluci´n β de (2),
ı
o
o
p
tomamos u una ra´ c´bica de β y ponemos v = − 3u . Entonces v 3 es la otra
ız u
soluci´n de(2) y α = u + v es soluci´n de (1). Simb´licamente, una soluci´n de
o
o
o
o
(1) es
α=

3

q
− +
2

q2
p3
+
+
4
27
1

3

q
− −
2

q2
p3
+
4
27

debido a que lassoluciones de (2) son
q2
p3
+ .
4
27

q
− ±
2

Si ω = 1 es una ra´ c´bica de 1, u1 = u, u2 = ωu, u3 = ω 2 u son las tres ra´
ız u
ıces
p
c´bicas de s0 . Pongamos vi = − 3ui de manera que...