Ecuaciones de bessel

E cu a ci o n e s D i f e r e n ci a l e s d e O r d en Su p er i o r
Pa r t e V

Funciones de Bessel
Ing. Ramón Abascal
Profesor Titular de Análisis de Señales y Sistemas y Teoría de los Circuitos II en la UTN, Facultad Regional Avellaneda Buenos Aires, Argentina 2006

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. Parte 5 – Funciones de Bessel.

5.3

Funciones de Bessel.
5.1 -Ecuación diferencial de Bessel: Según se vio en la Tercera Parte que una ecuación diferencial de segundo orden, con coeficientes variables responde a la fórmula general ( x - a ) 2 . y" + ( x - a) . α ( x ) . y' + β ( x ) . y = 0
P P

(3.2)

La ecuación x y" + x y' + ( x - ν ) y = 0
2
P

2
P

2
P

P

P

P

Ecuación de Bessel

(5.1)

que se conoce como Ecuación Diferencial deBessel, y en la que ν es un número real no negativo, constituye un caso particular entre las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Comparando entre si las ecuaciones (3.2) y (5.1), surgen a primera vista las siguientes relaciones: a = 0 α(x) = 1, y β ( x ) = x 2 - ν2
P P P P

Solución de la Ecuación de Bessel: Cualquier función y ( x ) que satisfaga la ecuación (5.1) será una soluciónparticular de la Ecuación de Bessel. Además, si y1 ( x ) e y2 ( x ) son ambas soluciones de aquella, entonces también lo son A y1 ( x ) y B y2 ( x ), donde A y B son dos constantes arbitrarias:
B B B B B B B B

x 2 A y1 " ( x ) + x A y 1 ' ( x ) + A ( x 2 - ν 2 ) y 1 ( x ) = 0
P P B B B B P P P P B B

x 2 B y2 " ( x ) + x B y 2 ' ( x ) + B ( x 2 - ν 2 ) y 2 ( x ) = 0
P P B B B B P P P P B BSumando miembro a miembro estas dos igualdades, obtenemos: x2 ( A y 1 " + B y 2 " ) + x ( A y 1 ' + B y2 ' ) + ( x 2 - ν2 ) ( A y 1 + B y2 ) = 0
P P B B B B B B B B P P P P B B B B

(5.2) (5.3)

Si llamamos: y = A y1 + B y2
B B B B

entonces: y' = A y1' + B y2'
B B B B

e

y" = A y1" + B y2"
B B B B

Lo que demuestra que la (5.3) es también solución de la ecuación de Bessel. Vamos atratar ahora de hallar una solución particular de la ecuación, es decir, vamos a definir cómo debe ser la función y ( x ) para que sea solución de dicha ecuación.
R. Abascal - Análisis de Señales y Sistemas

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. Parte 5 – Funciones de Bessel

5.4

A tal fin, comenzaremos por sustituir en la misma la solución general (3.4), es decir: y(x) =

Σ
k=0∞

ck ( x - a ) k+γ
B B P P

Por razones de orden práctico, hemos cambiado el nombre del índice m por k. Hecho lo cual, reemplazamos el valor de y ( x ) en la ecuación de Bessel, con lo que obtenemos la ecuación:

Σ

∞

(k + γ) (k + γ -1) ck x
B B P

k+γ
P

+ Σ (k + γ) ck x
B B P

∞

k+γ
P

+

Σ
k=0

∞

ck x
B B P

k+γ+2
P

-ν
P

2
P

Σ
k=0

∞

ckxk+γ = 0
B B P P P

k=0

k=0

(5.4) Esta ecuación debe cumplirse para todo x, lo que a su vez exige que sean nulos todos los coeficientes que multiplican a cada una de las potencias de x. Esta conclusión nos conduce a encontrar ciertas ecuaciones a partir de las cuales podremos determinar el valor de tales coeficientes. Empecemos por el caso en que k = 0. El coeficiente de xγ está dadoprecisamente por la suma de los coeficientes que multiplican a xγ en cada una de las sumatorias, es decir:
P P P P

γ ( γ - 1 ) c o + γ c o - ν2 c o = 0
B B B B P P B B

Ecuación Indicial

Esta igualdad se conoce como Ecuación Indicial, porque podemos a partir de ella calcular los coeficientes ck (Ver apartado 3.1).
B B

Para resolver la Ecuación Indicial es necesario que se cumpla que co ≠0, pues de lo contrario como puede verse por simple inspección de la ecuación, si co = 0, nos encontraríamos en un callejón sin salida. Simplificando, hallamos que:
B B B B B B

γ2 − ν2 = 0
P P P P

Las soluciones de esta ecuación algebraica de segundo grado son: γ1 = + ν
B B

y

γ2 = - ν
B B P P

De modo similar, si k = 1, la suma de los coeficientes de x1+γ , que también debe...