Ecuaciones de clayraut

Ecuación de Clairaut
Suponga que es una función real. Si la recta tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por

Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro . Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Si y tiene una inversa cerca de , entonces y podemos reescribir la ecuación dela recta tangente como

La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.
 
 
  |  Definición [Ecuación de Clairaut] |
  | Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
se conoce como ecuación de Clairaut . Donde es una función continuamente diferenciable.   |
 
El interés que presentaeste tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia , también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.
 
 
  |  Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut] |
  | a ecuación de Clairaut | (1.18) |

donde es una funciónderivable, tiene como solución general y como solución singular   |
 

Demostración
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución para obtener

| (1.19) |

Derivando ambos lados respecto a
 

de donde obtenemos que

Surgen dos casos
Caso 1:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación 1.19 obtenemos la solución general .
Observe que la solución general se obtiene simplementesustituyendo en la ecuación 1.18 por .
Cso 2:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación 1.19 , es decir

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.
 
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial

Solución:
La solución general es lafamilia de rectas y como la solución singular está dada por

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, . En la figura 1.2 se muestra la familia de rectas tangentes y la envolvente .
 

  |
Figura 1.2: Envolvente y rectas tangentes . |

Subsecciones
* Ejercicios
*http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node17.html
*
 

 
Ecuación diferencial de Clairaut
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La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:

por tanto

y así:ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular serepresenta normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo:
Resolver:

Hacemos

por tanto

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es

de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_Clairaut
Ecuacióndiferencial ordinaria
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En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales,...