Ecuaciones de estado Bond-Graph

Capítulo
Capítulo

T2
Desarrollo de las ecuaciones de
estado
2.1

DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DE ESTADO

Sea una masa m1 apoyada sobre un resorte de rigidez k1, que es excitado en su extremo inferior a
una velocidad conocida.
Para comenzar la realización del Bond-Graph, se parte del punto A en donde se aplica la
excitación exterior de velocidad que es conocida y variable en eltiempo v0(t).

Figura 2.1

e1
Sf:v0
Figura 2.2
Sobre el punto A actúa una fuente de flujo conocida cuyo valor es v0(t).

C a p í t u l o

T 2

D E S A R R O L L O

D E

L A S

E C U A C I O N E S

D E

E S T A D O

Por otra parte, el grafo que representa esta fuente de flujo lleva asociado un esfuerzo e1, no
conocido, que es la fuerza que se debe realizar en el punto A paraque se desplace con la velocidad
v0(t).
El muelle de rigidez k1 está sometido a todo el esfuerzo e1 y lo comunica íntegramente al
punto B, es decir; tanto el muelle como el punto B están sometidos al mismo esfuerzo.
Por lo anteriormente expuesto, queda claro que el esfuerzo es el mismo en el punto A, en el
muelle y en el punto B. Recordando ahora que los nudos en los que existía igualdad deesfuerzos eran
del tipo 0, en la representación con Bond-Graph se tendrá:

3
2

0

K1

1
Sf:v0(t)
Figura 2.3
Grafo 1: Representa la excitación de velocidad conocida v0(t).
Grafo 2: Es el muelle.
Grafo 3: Tiene asociados el esfuerzo y la velocidad en el punto B.
En la figura 2.3 se observa cómo debido a que en el resorte existe el mismo esfuerzo que en el
punto B, se ha empleado unaunión 0.
Hay que recordar que cada grafo lleva asociados el esfuerzo y la velocidad del punto o elemento
al que representa.
De esta forma, en el caso del muelle se tiene:

e1 f 3
0

e1
f2

K1

e1 f 1
Sf:v0(t)
Figura 2.4
Continuando con el ejemplo propuesto, en el punto B está situada una masa de valor m1.

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D E S A R R O L L O

D E

L A S

EC U A C I O N E S

Se:-m1· g

D E

E S T A D O

I:-m1
4

5
1
3

0

2

K1

1
Sf: v0(t)
Figura 2.5
A los grafos 1, 2 y 3 ya definidos, se añaden ahora el 4, que representa la inercia de la masa, y el 5,
que es una fuente de esfuerzos que corresponde al peso propio de la masa m1.
Tanto el grafo 4 como el 5 se unen mediante un nudo tipo 1, ya que ambos, el peso propio y lainercia de la masa, tienen la misma velocidad v1(t), variable en el tiempo.

Se:-m1· g
f5

I:-m1

e5

e4

f4

1
e3

f3
e2
f2

0

K1

e1 f 1
Sf: v0(t)
Figura 2.6
Una vez construido el Bond-Graph de un sistema se definen las variables independientes del
mismo y todos los esfuerzos y flujos asociados a cada grafo.
Como variables independientes se toman la cantidad demovimiento asociado al grafo de la
puerta de inercia y el desplazamiento entre los extremos del resorte. Sean P1 y x1 respectivamente.
Para hallar los esfuerzos y flujos asociados a cada grafo se comienza por los conocidos.
En este caso, se tiene:
f 1 = v 0 (t) Por ser fuente de flujo conocida.

f4 =

P1
m1

Por ser la variable independiente elegida el momento P1, y por tratarse de unapuerta

de inercia.

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D E S A R R O L L O

D E

L A S

E C U A C I O N E S

D E

E S T A D O

Como f5 y f3 están en la misma unión 1 que f4 y recordando que todos los grafos entrantes y
salientes de una unión 1 tenían igual flujo:
;

f3 = f4

f5 = f4

Por otra parte, en las uniones 0 se cumple que la suma de los flujos de entrada es igual a lasuma
de los flujos de salida.
En este caso:
f1 = f3 + f2

Y como f1 y f3 ya son conocidos:

f2 = f1 - f3

Y sustituyendo por los valores indicados anteriormente:
P
f2 = v0 (t ) − 1
m1
En mecánica, como se indicaba en el capítulo anterior, los esfuerzos se corresponden con las
fuerzas y los flujos con las velocidades. Así, en este ejemplo, se tendrá que f4 = v1(t) es la velocidad de...