Ecuaciones De Estado Y Transformada De Laplace

ECUACIONES DE ESTADO Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se ha visto que la transformada de Laplace es una herramienta conveniente y eficiente para resolver ecuaciones diferenciales. Cualquier ecuacióndiferencial de orden [pic] se puede describir como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden que se denominan ecuaciones de estado.
Utilizando la propiedad de diferenciación de latransformada de Laplace (TLF), podemos transformar este conjunto de ecuaciones en un conjunto de ecuaciones algebraicas y obtener la relación entre la función de transferencia y las entrada(s) y salida(s) delsistema
Sea
[pic]; [pic]
la representación en variable de estado de un sistema.
Aplicando la transformada de Laplace con CONDICIONES INICIALES NULAS ([pic]) tenemos:
[pic]
De (*):
[pic]
De(**):
[pic]
Entonces
[pic]
Observaciones:
1. [pic] son matrices
2. [pic] es la matriz idéntica del mismo tamaño de la matriz [pic]
3. Se debe tener en cuenta el tamaño de las matrices para quese pueda efectuar el producto y la suma.
Para sistemas de varias entradas y salidas, [pic] es una matriz de funciones de transferencia. Para sistemas de una entrada y una salida, [pic] es lafunción de transferencia:
[pic]
EJEMPLOS: Obtenga la función de transferencia del sistema lineal
[pic][pic]
SOLUCIÓN
PASO 1. Matrices
[pic]
PASO 2. Calculo de la inversa de [pic]
[pic]
PASO 3.Función de transferencia
[pic]

2. Resuelva [pic]
SOLUCIÓN
PASO 1. Obtención de la transformada de Laplace de cada una de las ecuaciones

[pic]

PASO 2. Usando Cramer para hallar [pic] tenemos:[pic]
[pic]
PASO 3. Aplicando fracciones parciales a [pic] y a [pic] se tiene:
[pic]
PASO 4. Aplicando transformada inversa se tiene
[pic]
Usando la representación en variables de estado setiene:
PASO 1. El sistema se puede escribir como:
[pic]
PASO 2. Aplicando transformada de Laplace se tiene:
[pic]
Luego, [pic]
EJERCICIOS
1. Escriba cada una de las siguientes ecuaciones...