Ecuaciones de estado

ECUACIONES DE ESTADO

La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hacia una mayor complejidad, debido principalmente a los requerimientos de las tareas complejas y la elevada precisión. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.
Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de lossistemas de control, al aumento enla complejidad del sistema y a un acceso fácil a las computadoras de gran escala, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este enfoque nuevo se basaen el concepto de estado.
El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existidodurante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.
La teoría de control moderna contra la teoría de control convencional. La teoría de control moderna contrasta con la teoría de control convencional en que la primera se aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, en tanto que la segunda sólo se aplica a sistemas lineales con unaentrada y una salida e invariantes con el tiempo.
Asimismo, la teoría del control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo, en tanto que la teoría de control convencional es un enfoque complejo en el dominio de la frecuencia. Antes de continuar, debemos definir estado, variables de estado, vector de estado y espacio de estados.

Estado.-
El estado de un sistema dinámico esel conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t 2 ta, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t 2 to.
Observe que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos,económicos, sociales y otros.

Variables de estado.-
Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.
Si se necesitan al menos ~t variables ~1, ~2, . . . , x,, para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t 2fo y se especifica el estado inicial en t = to, el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado.
Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medibles ni observables pueden seleccionarse como variablesde estado. Tal libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espacio de estados. Sin embargo, en la práctica es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para las variables de estado, si es posible, debido a que las leyes del control óptimo requerirán la realimentación de todas las variables de estado con una ponderación conveniente.
Vector de estado.Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas II variables de estado se consideran los ~t componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t 2 fo, una vez que se obtiene el estado ent = to y se especifica la entrada u(t) para t 2 to.

Espacio de estados.-
El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje XI, el eje ~2,. . . , el eje x,, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones en el espacio de estados.-
En el análisis en el espacio de estados, nos...