Ecuaciones de Euler

Ecuaciones de Euler-Lagrange
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

Principio de mínima acción

Enla imagen aparecen una carga positiva fija (en rojo) y un electrón libre (en azul). De todas las trayectorias posibles, ¿cuál escogerá el electrón? El principio de acción mínima determina que la trayectoria 1 será la elegida.
El principio de mínima acción, principio de acción estacionaria o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la mecánica clásica y la mecánica relativista paradescribir la evolución a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo físico. También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio.1
La mecánica clásica es la ciencia que estudia las leyes del comportamiento de cuerpos físicos macroscópicos en reposo y a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
La teoríageneral de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.
El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y lagravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.
Definición
La ecuación de Euler–Lagrange es una ecuación la cual se satisface con una función, q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} , con argumento real t {\displaystyle t} , el cual es un punto estacionario del funcional.11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Espacio tangente

fig.1 El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.
En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos losvectores tangentes a dicho punto (véase fig.1). Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.
El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamado fibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de la dimensión de la variedad de entrada.
Derivada parcial
En cálculo diferencial, una derivada parcial de unafunción de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, física matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
∂ f ∂ x ,   ∂ ∂ x f ,   ∂ x f ,   f x′  ó  f x . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,\ \partial _{x}f,\ f_{x}^{\prime }{\text{ ó }}f_{x}.}
Donde ∂ {\displaystyle \scriptstyle \partial } es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como D 1 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} que es la primera derivadarespecto a la variable x 1 {\displaystyle x_{1}} y así sucesivamente.1
Cuando una magnitud A {\displaystyle A} es función de diversas variables ( x , y , z , . . . {\displaystyle x,y,z,...} ), es decir:
A = f ( x , y , z , . . . ) {\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A...