Ecuaciones de Gobierno


ECUACIONES
DE
GOBIERNO
All the mathematical sciences are founded on relations between physical laws
and laws of numbers, so that the aim of exact science is to reduce the problems
of nature to the determination of quantities by operations with numbers.
James Clerk Maxwell, 1856

En este capítulo se presentan las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido, así como el procesode promediado de las ecuaciones (RANS) para lograr su solución y el modelo de cierre de las mismas.

2.1 Ecuaciones Básicas de la Mecánica de Fluidos
La ley de conservación es un concepto fundamental detrás de las leyes de la mecánica de fluidos. Aunque esta idea tiene una lógica simple el entendimiento de la misma se puede complicar por su contenido.
Una ley de conservación se expresa comosigue: el cambio de la cantidad total de una variable dentro de un dominio dado, es igual al balance entre la cantidad de la variable que entra y sale del dominio considerado, más la contribución de las fuentes de generación de dicha variable. De lo anterior se observa que la tasa de cambio de la variable durante la evolución del flujo muestra al propio flujo como un sistema en movimiento y encontinuo cambio [6].

Aunque se puede escribir la ley de conservación de una variable indefinida , se debe mencionar que no todas las variables del flujo obedecen una ley de conservación. Propiedades importantes en un dominio dado, como la presión, temperatura, entropía por ejemplo; no obedecen las leyes de conservación. Esto no significa que se pueda escribir una ecuación para estas cantidades,sólo significa que esta ecuación no será en forma de una ley de conservación.
Las leyes de conservación que describen totalmente la evolución de los flujos de fluidos se define a través de tres cantidades básicas:
Masa
Cantidad de movimiento
Energía
Lo anterior, representa un total de cinco ecuaciones, debido a que la cantidad de movimiento está definido como el producto de la densidad porla velocidad, que es un vector con tres componentes en el espacio. Estas condiciones determinan el comportamiento de un fluido sin ningún tipo de ley dinámica adicional. De hecho, la única información adicional necesaria seria especificar la naturaleza del fluido (por ejemplo, si es fluido incompresible, gas ideal, entre otros), así como condiciones iniciales y de frontera.
Si se considera unflujo incompresible y newtoniano, como es el caso del problema bajo análisis, se supone entonces un flujo aproximadamente isotérmico, eliminando así la necesidad de una ecuación de conservación de energía [7]. Por lo anterior, el movimiento del fluido se regirá únicamente por las ecuaciones:
Conservación de masa
Conservación de cantidad de movimiento
En un sistema de coordenadas Cartesiano, conun vector de velocidad de componentes , y , las ecuaciones gobernantes se expresan de la siguiente forma

2.1.1 Conservación de masa
La ley de conservación de masa es una declaración general independiente de la naturaleza del fluido o de las fuerzas que actúan sobre éste. Expresa el hecho de que en un sistema fluido, la masa no puede desaparecer del sistema, ni ser creada.
La ecuación deconservación de masa en forma integral se expresa como sigue:

y en forma diferencial, la ecuación se expresa como:

donde y , son la velocidad y la densidad del fluido. Esta ecuación también es llamada ecuación de continuidad.

2.1.2 Conservación de cantidad de movimiento
La conservación de cantidad de movimiento se basa en otro principio básico de la física, la segunda Ley de Newton. Enella se establece que la variación de cantidad de movimiento es causada por la fuerza neta que actúa sobre un elemento de fluido.
La ecuación de conservación de cantidad de movimiento en forma integral se expresa como sigue:

y en su forma diferencial, la ecuación se expresa como:

donde , es el tensor de esfuerzos viscosos y , representa las fuerzas de cuerpo o superficie (la gravedad, es la...