ecuaciones de la circunferencia, parabola

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²Ecuación Canónica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 
x ² + y ² = 3²

Ecuación General de la Circunferencia
Si conocemos elcentro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:Prueba:Ejemplo: 
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4 
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
x² + y² - 4x - 12y + 4 +36 - 16 =0
x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
D = -4 , E = -12 , F = +24
Observaciones:
Dada la ecuacion de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:




Ecuación reducida de la parábola
Eje en el de abscisas y el vértice en el origen




Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen




Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Parábola coneje paralelo a OY, y vértice distinto al origen


Ejercicios
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).



 
2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
 



 
3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).



 
4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).



 
5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).



 
6 De foco (3, 2), de vértice (5,2).



 
7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).



 
8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).




Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
1







 
2







 
3








Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3) y B(-1, 12).





Ecuaciones de la parábola


Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.


Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyovértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,2 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en eleje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando...