Ecuaciones de la par bola
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Publicado: 6 de septiembre de 2015
Ecuaciones de la parábola[editar]
Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.
Prueba geométrica de la relacióny=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de lasformas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde elparámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, laparábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométricaexpresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección deun cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la seccióncircular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantesy así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo quehaciendo
arroja la expresión moderna y=ax².
Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábolavertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene...
Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.
Prueba geométrica de la relacióny=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de lasformas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde elparámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, laparábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométricaexpresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección deun cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la seccióncircular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
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Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantesy así:
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Usando nuevamente los paralelismos:
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Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
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Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo quehaciendo
arroja la expresión moderna y=ax².
Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábolavertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene...
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