ecuaciones de lagrange

Ecuaciones de Lagrange
Barbol
Mayo 2003
Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico parallegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.
1 Parámetros de lasecuaciones
Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:
• - Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.• - Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
• - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenadageneralizada.
• - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
• - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se consideraúnicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.
2 Formulaciones de las ecuaciones
2.1 Caso general
La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es

(1)El subíndice va desde hasta , por lo que éstas son ecuaciones (siendo el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas ecuaciones nos darán el estado del sistema entodo instante.
2.2 Caso conservativo
Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

(2)(3)


Si definimos como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que , es decir, debido a que el potencial depende exclusivamentede las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

(4)


2.3 Caso continuo
En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad...