Ecuaciones De Langrane
Sacamos estas dos ecuaciones
fx,y,z=xyz x+y+z-N=0=>g(x,y,z)fx,y,z,λ=xyz+λx+y+z-N=0
fx=yz+λ=0 1 fy=xz+λ=0 (2)
fz=xy+λ=0 3 fλ=x+y+z-N=0 (4)
De lasecuaciones anteriores se despejara sus variables:
yz+ λ=0 z=-λy xz+λ=0→x=-λz xy+λ=0→y=-λx
Entonces se reemplaza en la ecuación 4
N=-λz-λx-λy
Ahora si bien despejamoslas ecuaciones 1y 2; de la siguiente manera:
yz+ λ=0 y=-λz xz+λ=0→x=-λz
Entonces y=x por lo tanto al reemplazar este valor en la ecuación 3 tenemos que: xx+λ=0 →2x= -λ
x=-λ2 y como y=x=> y=-λ2
Ahora despejamos z de la ecuación 1 o 2: xz+λ=0 (2)
-λ2 z+λ=0 → -λ2 z= -λ → z=-λλ2
z=-λ 2λ
Reemplazando cadavalor tenemos que: x+y+z-N=0
-λ2 +-λ2 +-λ 2λ -N=O → -λ2 -λ2 -λ 2λ -N=O
N=-λ2 -λ2 -λ 2λ
18. Demostrar que la caja con un volumen máximo que puede ser colocadadentro de una esfera tiene forma de un cubo
Volumen = x·y·z y, x2 + y2 + z2 = r2
fx,y,z=xyz x2+y2+z2-r2=0=>g(x,y,z)
fx,y,z,λ=xyz+λx2+y2+z2-r2=0
fx=yz+2xλ=01 fy=xz+2yλ=0 (2)
fz=xy+2zλ=0 3 fλ=x2+y2+z2-r2=0 (4)
De las ecuaciones anteriores se deriva conrespecto ha:
fx fy fλ
yz+2xλ=0 x=-yz2λ xz+2yλ=0→y=-xz2λ xy+2zλ=0→z=-xy2λEntonces se reemplaza en la fλ
r2=-yz2λ 2+-xz2λ 2+-xy2λ 2=-y2z24λ-x2z24λ-x2z24λ
r2=14λ -y2z2-x2z2-x2z2
r=12λ -y2z2-x2z2-x2z2
19. determinar las dimensiones relativas de una caja...
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