Ecuaciones De Langrane

Páginas: 3 (733 palabras) Publicado: 5 de junio de 2012
17. Encontrar tres números cuya suma sea N y tal que su producto sea tan grande como sea posible.

Sacamos estas dos ecuaciones
fx,y,z=xyz x+y+z-N=0=>g(x,y,z)fx,y,z,λ=xyz+λx+y+z-N=0

fx=yz+λ=0 1 fy=xz+λ=0 (2)

fz=xy+λ=0 3 fλ=x+y+z-N=0 (4)

De lasecuaciones anteriores se despejara sus variables:

yz+ λ=0 z=-λy xz+λ=0→x=-λz xy+λ=0→y=-λx

Entonces se reemplaza en la ecuación 4

N=-λz-λx-λy

Ahora si bien despejamoslas ecuaciones 1y 2; de la siguiente manera:

yz+ λ=0 y=-λz xz+λ=0→x=-λz

Entonces y=x por lo tanto al reemplazar este valor en la ecuación 3 tenemos que: xx+λ=0 →2x= -λ

x=-λ2 y como y=x=> y=-λ2

Ahora despejamos z de la ecuación 1 o 2: xz+λ=0 (2)

-λ2 z+λ=0 → -λ2 z= -λ → z=-λλ2

z=-λ 2λ

Reemplazando cadavalor tenemos que: x+y+z-N=0

-λ2 +-λ2 +-λ 2λ -N=O → -λ2 -λ2 -λ 2λ -N=O

N=-λ2 -λ2 -λ 2λ


18. Demostrar que la caja con un volumen máximo que puede ser colocadadentro de una esfera tiene forma de un cubo
Volumen = x·y·z y, x2 + y2 + z2 = r2

fx,y,z=xyz x2+y2+z2-r2=0=>g(x,y,z)

fx,y,z,λ=xyz+λx2+y2+z2-r2=0

fx=yz+2xλ=01 fy=xz+2yλ=0 (2)

fz=xy+2zλ=0 3 fλ=x2+y2+z2-r2=0 (4)

De las ecuaciones anteriores se deriva conrespecto ha:
fx fy fλ
yz+2xλ=0 x=-yz2λ xz+2yλ=0→y=-xz2λ xy+2zλ=0→z=-xy2λEntonces se reemplaza en la fλ

r2=-yz2λ 2+-xz2λ 2+-xy2λ 2=-y2z24λ-x2z24λ-x2z24λ

r2=14λ -y2z2-x2z2-x2z2

r=12λ -y2z2-x2z2-x2z2



19. determinar las dimensiones relativas de una caja...
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