Ecuaciones de laplace y series de furier

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Electricidad y Magnetismo

Ing. Genaro Campos Castillo

Series de Furier y Transformada de Laplace

INDICE
Series de Furier……………………..……………………………..3

Transformada de Furier…………………………………………..4

Transformada de Laplace………………………………………...8

Aplicaciones de la Transformada deLaplace………………….13
Sistemas mecanicos………………………………………...13
Circuitos Electricos………………………………………...15
Conclusiones……………………………………………………...20

Serie de Fourier
La serie de fourier de la función f(x)
a(0) / 2 + [pic](k=1..[pic]) (a(k) cos kx + b(k) sin kx)
a(k) = 1/PI [pic][pic]f(x) cos kx dx
b(k) = 1/PI [pic][pic]f(x) sin kx dx

[pic]El residuo de la serie de fourier. Sn(x) = la suma de los primeros n+1términos a x.
el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI [pic][pic]f(x+t) Dn(t) dt
Sn(x) = 1/PI [pic][pic]f(x+t) Dn(t) dt
Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ]
La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.
A(0) / 2 + [pic](k=1..[pic]) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ]
a(k) = 1/m [pic][pic]f(x) cos (k(PI)x/ m) dx
b(k) = 1/m [pic][pic]f(x) sin (k(PI)x / m) dx
La Integral Fourier de la función f(x)
f(x) = [pic][pic]( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy
a(y) = 1/PI [pic][pic]f(t) cos ty dt
b(y) = 1/PI [pic][pic]f(t) sin ty dt
f(x) = 1/PI [pic][pic]dy [pic][pic]f(t) cos (y(x-t)) dt
Casos Espaciales de la Integral Fourier
si f(x) = f(-x) pues
f(x) = 2/PI [pic][pic]cos xy dy [pic][pic]f(t) cos yt dtif f(-x) = -f(x) then
f(x) = 2/PI [pic][pic]sin xy dy [pic][pic]sin yt dt
Transformada de Fourier
[pic]Definición formal
Sea f una función Lebesgue integrable:
[pic]o [pic]

Transformada Continua de Fourier

[pic]

t: Tiempo
f: Frecuencia en Hz
x(t): Señal de prueba
e−j2_ft: Fasor de Sondeo (Kernel Function)
X(f): Espectro en función de la frecuencia f
x(t) ↔ X(f), es decirpara una función x(t) existe un equivalente
X(f), el espectro, revela la fuerza (energía) de varias componentes
de frecuencia, ordenadas por frecuencia.

La transformada de Fourier actúa como un detector de energia en
frecuencia-dependiente.

Transformada Inversa de Fourier

A partir de la transformada, podemos recuperar la señal original
tomando la Transformada Inversa de Fourier.La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
[pic]

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en elexponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.
Propiedades básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
[pic]
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
• Cambio de escala:
[pic]
• Traslación:[pic]
• Traslación en la variable transformada:
[pic]
• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,
[pic]
• Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable
[pic]
Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.
Tabla de Transformadasbásicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de [pic], siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de [pic]en la transformada inversa.
A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe...