Ecuaciones de Larange

Cap´ıtulo 16
Ecuaci´
on de Lagrange
16.1

Introducci´
on a las ecuaciones de Lagrange

La mec´anica que nos presenta Lagrange en su M´ecanique Analytique significa un
salto conceptual muy grande respecto de la formulaci´on Newtoniana. El concepto
de fuerza, central en el tratamiento dado por Newton, pr´acticamente desaparece
de la escena. En las pr´oximas clases nos iremos despidiendo de ´el, ys´olo aparecer´a
espor´adicamente. Poco a poco ser´a reemplazado por la idea de funci´on potencial
en el marco de un tratamiento que podr´ıamos llamar energ´etico.
Lo que quiero ahora es dar algunos pasos que nos acerquen a la dif´ıcil formulaci´on de Lagrange de la Mec´anica. Consideremos el movimiento de una part´ıcula
en un plano bajo la acci´on de una fuerza F. Escribimos la ecuaci´on de Newtonen coordenadas polares:
m¨
r − mrθ˙2 = F.ˆr
mrθ¨ + 2mr˙ θ˙ = F.θˆ
Queremos construir una formulaci´on energ´etica, en el sentido de que podamos
partir de la energ´ıa cin´etica
1
T = m r˙ 2 + r2 θ˙2
2
y llegar a las ecuaciones de Newton, por medio de alg´
un operador D tal que, por
2
˙
ejemplo, DT = m¨
r − mrθ . Notablemente, esta no es una tarea muy complicada.
Trabajando un poco dicho t´ermino,d
d
(mr)
˙ −
m¨
r − mrθ˙2 =
dt
dr

d
1 2 ˙2
mr θ =
2
dt

d
dr˙

1 2
mr˙
2

−

∂
∂r

1 2 ˙2
mr θ
2

podemos escribir la componente radial de la ecuaci´on de Newton en t´erminos de
la energ´ıa cin´etica como
d
dt

∂T
∂ r˙

−

∂T
∂r
= F.
∂r
∂r

1

2

Cap´ıtulo 16. Ecuaci´on de Lagrange

Un c´alculo similar permite demostrar que la componente angular de la ecuaci´on
de Newton es equivalente a
d
dt∂T
∂ θ˙

−

∂T
∂r
= F.
∂θ
∂θ

Bueno, parece que hemos encontrado algo interesante. Podemos escribir ambas
como una sola, en t´erminos de la coordenada q = r ´o θ,
d
dt

∂T
∂ q˙

−

∂T
∂r
= F.
∂q
∂q

Esta es la em ecuaci´on de Lagrange, con la cual trabajaremos de aqu´ı en adelante
ad nauseam. La demostraci´on que hemos hecho es completamente correcta, pero
deja en el tintero un aspecto muy importante.Aqu´ı, hemos trabajado con una
u
´nica part´ıcula, donde la fuerza F incluye “todas” las interacciones que act´
uan
sobre ella, incluidas las fuerzas de v´ınculo. Pero d’Alembert ya hizo el gasto de
eliminar las fuerzas de ligadura de la mec´anica, y no ser´ıa muy astuto de nuestra
parte ignorar este resultado. Ahora vamos a deducir las ecuaciones de Lagrange a
partir del Principio de d’Alembert,demostrando que aquellas valen para todo el
sistema (no s´olo una part´ıcula) y para cualquier coordenada generalizada q compatible con los grados de libertad del sistema, sin tener en cuenta expl´ıcitamente
las fuerzas de v´ınculo.

16.2

Ecuaciones de Lagrange

Trabajaremos sobre la ecuaci´on de d’Alembert para un sistema arbitrario de N
part´ıculas
N
dpi
Fi −
.δri = 0
dt
i=1
Recordemos que conesta ecuaci´on hemos logrado desembarazarnos de las fuerzas
de ligadura, pero pagando el precio de que los sumandos de dicha ecuaci´on ya
no son independientes, puesto que -habiendo un cierto n´
umero k de ligaduras
hol´onomas- ahora no son independientes las variaciones ri . Ahora vamos a salvar
esta dificultad, escribiendo la ecuaci´on de d’Alembert en t´erminos de las 3N − k
coordenadasgeneralizadas qj del sistema1 , en funci´on de las cuales las antiguas
coordenadas ri est´an dadas por
ri = ri (q1 , ..., q3N −k , t)
1

La elecci´on de las 3N − k coordenadas generalizadas de un sistema no es u
´nica, por lo cual
tampoco son u
´nicas las ecuaciones de Lagrange.

16.3. Demostraci´on de las ecuaciones de Lagrange

3

Nuestro objetivo es demostrar que, en t´erminos de estas coordenadasgeneralizadas, que el principio de d’Alembert se puede escribir como
3N −k
j=1

d
dt

∂T
∂ q˙j

N
∂T
∂ri
Fi .
−
−
.δqj = 0
∂qj i=1
∂qj

Supongamos, por ahora, que ya logramos demostrar esta ecuaci´on (lo haremos
en la pr´oxima secci´on). Si las ligaduras son hol´onomas (y tal condici´on se utiliza
reci´en ahora, no siendo imprescindible para la demostraci´on anterior), las coordenadas...