Ecuaciones De Legendre

Ecuaciones de Legendre:
1) Ecuación de Legendre:
(1 – x2)u′′− 2xu′+ λ(λ + 1)u = 0 (1)
Puede escribirse también en la forma de Sturm-Liouville,
−[(1 – x2)u′]′= λ(λ + 1)u
o en la forma estándary′′+ A(x)y′+ B(x)y = 0 (2)
con A(x) =−2x/1−x2 , B(x) =λ(λ+1)/1−x2 .
Tanto A(x) como B(x) son analíticos para |x| < 1 (o sea, |z| < 1). La ec. (1) surge en problemas físicos al considerar la ecuación deautovalores del Laplaciano en una superficie esférica:
−∆Ωu = λ(λ + 1)u, donde ∆Ω es la parte angular del Laplaciano en coord. esféricas y u una función dependiente sólo de θ. En tal caso la ecuaciónanterior resulta:
−1/sin(θ)*∂/∂θ*(sin(θ)*∂u/∂θ) = λ(λ + 1)u
la cual se reduce a (1) si x = cos θ (1/sin(θ)*∂/∂θ) = −∂/∂x).
Como λ(λ+1) = (λ+1/2)2−1/4, es suficiente considerar
Re[λ] ≥ −1/2.Planteando u =Sumatoria∞n=0
cnx
n
, se obtiene
X∞
n=0
x
n
{cn+2(n+2)(n+1)−cn[n(n−1)+2n−λ(λ+1)]} = 0
de donde
cn+2 = cn
n(n + 1) − λ(λ + 1)
(n + 2)(n + 1)
= −cn
(n + λ + 1)(λ − n)
(n + 2)(n +1)
Para c1 = 0 y c0 = 0, se obtiene la soluci´on 6 par, donde
c2n+1 = 0 y
c2 = −c0
λ(λ + 1)
2!
, c4 = c0
λ(λ − 2)(λ + 1)(λ + 3)
4!
, . . .
mientras que para c0 = 0 y c1 = 0, se obtiene lasoluci´on 6
impar, donde c2n = 0 y
c3 = −c0
(λ − 1)(λ + 2)
3!
, c5 = c0
(λ − 1)(λ − 3)(λ + 2)(λ + 4) Dado que |cn+2/cn| → 1 para n → ∞, el radio de convergencia de la serie resultante es 1. Puedeverse que
la soluci´on no es en general acotada para x ∈ (−1, 1)
(|u(x)| → ∞ en al menos uno de los bordes).
La excepci´on ocurre si λ = l, con l entero positivo, en
cuyo caso cl+2 = 0. Estoimplica que la soluci´on con la
misma paridad de l se convierte en un polinomio de grado
l, que se denomina Polinomio de Legendre. En tal caso,
los coeficientes no nulos del polinomio est´an dados porc2n+i = ci
(−1)
n
(l2!)
2
(l + 2n)!
l!(l2 − n)!(l2 + n)!(2n + i)!
, i = 0, 1, n = 0, . . . , l2
donde l2 = [l/2] ([ ] denota parte entera) y i = 0 corresponde a la soluci´on par para l par,...