ECUACIONES DE MAXWELL

Ecuaciones de Maxwell
Hemos establecido previamente las ecuaciones del Campo Electromagnético,
en las condiciones más generales posibles. Este conjunto de ecuaciones,
denominado Ecuaciones de Maxwell, describe todos los fenómenos
electromagnéticos, a nivel macroscópico.
Las relaciones generales entre los campos macroscópicos son
Para poder resolver las ecuaciones, se debe conocer lasrelaciones constitutivas, entre
y

, entre

y

, y entre

y

.

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío (

,

,

,

) son:
Estas ecuaciones implican la existencia de `ondas electromagnéticas', que se
propagan en el vacio con velocidad

. Por el momento,

tomemos c como una definición (es fácil ver que tiene las dimensiones de una
velocidad), y tratemos de obtener una ecuaciónque involucre solamente a

.

Para hacer esto último, tomemos el rotor de la 'ecuación de Faraday',
(54)
lo cual da,
(55)
Finalmente, se tiene
Esta es la llamada ecuación de ondas para el campo eléctrico. El campo
magnético

satisface la misma ecuación de ondas.
(57)

El valor de

(km/s), representa la velocidad de propagación de los

frentes de onda (en realidad es la'velocidad de fase').
Hay varias preguntas que uno se puede hacer, y que responderemos a
continuación. En primer lugar, ¿Cómo se produce una onda electromagnética?.

La respuesta mas simple es que basta tener cargas en movimiento acelerado,
o corrientes que varían en el tiempo.
Figure 9.1: El punto de emisión y recepción de una onda están separados por un tiempo
, en que d es la distancia entrelos puntos.

Para dar una descripción matematica del proceso de emisión de una onda
electromagnetica, deberemos obtener los campos eléctrico y magnético, o bien
los potenciales dinámicos,

y

. Observamos, en forma muy

simple, que los potenciales anteriores satisfacen las ecuaciones de onda
siguientes:

Recordamos que el potencial estatico

satisface
(58)

Como éste potencialsatisface una ecuación diferencial similar a la ecuación de ondas,
suponemos que la forma del potencial es tambien similar. Hay una importante
diferencia, la que ilustramos en la figura, pues cuando se detecta una onda en el punto
, en el instante t, ésta fué emitida en el instante anterior t', en un punto , tal que t-t' =
d/c, en que d es la distancia entre los puntos de emisión y recepción.Se dice entonces
que el potencial es retardado. De esta forma, escribimos

(59)

en que

.

Hemos visto que, en las zonas sin cargas ni corrientes, las ecuaciones de
Maxwell conducen a las ecuaciones de ondas para los campos

y

. En las

zonas en que existen cargas y corrientes, es mejor buscar las ecuaciones par a
los potenciales. Tomemos primero el potencial magnético

, yreemplazamos

en la ley de Faraday, obteniendo
(60)
Deeducimos entonces que
(61)
Tomamos ahora la ecuación para el campo

, y obtenemos
(62)

Tenemos entonces la siguiente ecuación para el potencial

,
(63)

Se impone usualmente la llamada condición de Lorentz, que establece que la
cantidad entre paréntesis en al lado derecho de la e cuación anterior se anula
idénticamente,(64)
Con esto, es potencial

, satisface la ecuación de ondas clásica, con fuentes,

que escribimos anteriormente. Reemplazando en la ley de Gauss, se obtiene
tambien la ecuación de ondas para el potencial

. Hay que hacer notar que,

como se dijo ya en magnetostatica, existe una ambiguedad en la definición del
potencial
de Lorentz.

, que permite imponer una condición de 'gauge' comola condición

Flujo de Energía Electromagnética
Recordemos que anteriormente se definió las densidades de energía

¿Es posible hablar de energía electromagnética?: Es natural imaginar que la
cantidad u es un buen candidato a 'densidad de energia electromagnetica',
(65)
Para ver que esta cantidad tiene propiedades adecuadas, calculemos la
variación de u, con respecto al tiempo,
(66)...