Ecuaciones De Orden Superior

M´todos Matem´ticos 2 e a Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
L. A. N´ nez* u˜ Centro de Astrof´sica Te´rica, ı o Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela e y Centro Nacional de C´lculo Cient´ a ıfico Universidad de Los Andes (CeCalCULA), Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida, o o e M´rida 5101, Venezuela e M´rida, Octubre 2001Versi´n α1.0 e o

´ Indice
1. Definiciones para comenzar 2. Homog´neas, Lineales, de Segundo Orden e 3. Ecuaciones Diferenciales de Orden n 4. Algunos M´todos de Soluci´n e o 4.1. El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. M´todos de los Coeficientes Indeterminados e 4.3. M´todos de Variaci´n de los Par´metros . e o a 4.4. M´todos de Reducci´n de Orden . . . . . . e o . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 9 9 10 11 14

1.

Definiciones para comenzar

Definici´n o La ecuaci´n diferencial o a0 (x) y(x) + a1 (x) y (x) + · · · + an−1 (x) y (n−1) (x) + an (x) y (n) (x) = F(x)
*

e-mail: nunez@ula.ve

1

oequivalentemente,

n

ai (x) y (i) (x) = F(x)
i=o

es lineal de orden n . Obviamente, F(x) = 0 =⇒ Homog´nea e F(x) = 0 =⇒ InHomog´nea e ai (x) = ai = ctes Definici´n o Si los coeficientes ai = ctes entonces la ecuaci´n diferencial lineal y homog´nea, de orden n , tiene o e asociada un polinomio caracter´ ıstico de la forma an rn + an−1 rn−1 + · · · + a2 r2 + a1 r + a0 = 0 Las ra´ ıces de estepolinomio indicar´n la forma de la soluci´n. a o Definici´n o Si el polinomio caracter´ ıstico puede factorizarse (r − m1 )k1 (r − m2 )k2 (r − m3 )k3 · · · (r − ml )kl = 0 entonces diremos que las ra´ mk1 , mk2 , mk3 , · · · , mkl tienen multiplicidades k1 , k2 , k3 , · · · , kl , respecıces tivamente.

2.

Homog´neas, Lineales, de Segundo Orden e
La ecuaci´n o a y +b y +c y =0

tiene asociada elpolinomio caracter´ ıstico a r2 + b r + c = 0 y sus ra´ ıces m1 y m2 condicionan la soluci´n de la manera siguiente o 1. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la soluci´n es o y = C1 em1 x + C2 em2 x 2. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la soluci´n es o y = C1 em1 x + C2 xem1 x 3. Si m1 = α + iβ con β = 0 y m2 = m1 = α − iβ, entonces la soluci´n es o y = eα x (C1 cos βx + C2 sen βx) 2Ejemplos La ecuaci´n o y + 3y − 4y = 0; tiene como polinomio caracter´ ıstico r2 + 3r − 4 = (r + 4)(r − 1) = 0 y por lo tanto tiene como soluci´n general o y(x) = C1 e−4x + C2 ex y como soluci´n particular o 2 3 y(x) = e−4x + ex 5 5 y(0) = 1 ∧ y (0) = −1

3 y(x) = 2 e−4x + 5 ex 5

De igual modo, para distintos valores de C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes gr´ficas a3

y(x) = C1 e−4x + C2 ex para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} ¿Cu´les son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes? a La ecuaci´n o y + 2y + y = 0; y(0) = 1 ∧ y (0) = −1 tiene como polinomio caracter´ ıstico r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0 y por lo tanto tiene como soluci´n general o y(x) = C1 e−x + C2 xe−x y como soluci´n particular o y(x) = e−x Lagr´fica ser´ la figura a a

4

y(x) = e−x por su parte, para distintos valores de C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes gr´ficas a

y(x) = C1 e−x + C2 xe−x para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} ¿Cu´les son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes? a Finalmente, la ecuaci´n o y + 4y + 20y = 0; tiene como polinomio caracter´ ısticor2 + 4r + 20 = (r + 2)2 + 16 = 0 con las siguientes soluciones r = −2 ± 4i y por lo tanto tiene como soluci´n general o y(x) = e−2x (C1 cos 4x + C2 sen 4x) y como soluci´n particular o y(x) = e−2x La gr´fica ser´. a a 3 cos 4x + 5 sen 4x 4 y(0) = 3 ∧ y (0) = −1

5

Figura 1: y(x) = e−2x (C1 cos 4x + C2 sen 4x) para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1}

y(x) = e−2x

5 3 cos 4x + 4 sen 4x...