Ecuaciones de primer y segundo grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
• Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido.

• El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.

• Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas quetransforman la ecuación en una identidad.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.
Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente decero.


Ejercicios de autoaprendizaje:
Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado:

• Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2)

• Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva)

• Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a⋅ x = b. (Propiedad 1).

•Despejar la incógnita. (Propiedad 2).

• Verificar la solución.

Ejemplo 1,

a) 3(2x + 5) − 2 (4 + 4x)= 7 lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis
6x +15 −8 −8x = 7 sumamos los términos en x y los términos independientes
-2x + 7 = 7 transponemos los términos
−2x = 7 −7 ⇒ 0 −2x = despejamos la incógnita ⇒ x = 0Verificación :

Al sustituir en la ecuación x = 0, transforma la ecuación en identidad:
3(2⋅0 + 5) −2 (4 + 4⋅0) = 7 ⇒ 3⋅5 −2⋅4 = 7


Ejemplo 2.

¿Son equivalentes las siguientes ecuaciones?

a) x + 5 = 8 y 7x +1= 22

Tenemos que resolver cada una de ellas y mirar si tienen la misma solución.
Resolvemos la primera: x = 3
Resolvemos la segunda: 7x = 21 ⇒ x = 3
Comotienen la misma solución son ecuaciones equivalentes.


b) x + 3 = 4 y 8x + 8 = 8.

Resolvemos la primera: x = 1
Resolvemos la segunda: 8x = 0 ⇒ x = 0
Como no tienen la misma solución no son ecuaciones equivalentes
Problemas resueltos
Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones:
• Definición de la incógnita
• Traducir al lenguaje algebraico el enunciado.
•Planteamiento de la ecuación.
• Resolución de la ecuación.
• Ver si el resultado de la ecuación es coherente
con el enunciado

a) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?
x =el número buscado. (definición de la incógnita)
Su quinta parte es x/5 (transformación al lenguaje algebraico).
x+ x/5 = 18 (es el planteamiento de la ecuación).Resolvemos la ecuación: 5x + x = 90 ⇒ 6x = 90 ⇒ x = 90/6
Entonces, x = 15
Verificar.


b) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
y =número de ovejas que tenía.
Un tercio de las que tenía es y/3

El planteamiento será una resta: y – y/3 = 24


Resolvemos la ecuación: 3y − y = 72 ⇒ 2y =72 ⇒ y = 72/2 ⇒ y = 36ovejas.
Verificar.

Ejemplo 3.
En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué US$51. ¿Cuánto costaba el
producto?
a precio en US$ del producto.
El 15% de a es a (15/100)
Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagué:
a – (15/100)a = 51

Resolvemos:
(85/100)a = 51 ⇒ 85
a = (51.100)/85 ⇒ a = US$60.
Verificar.

Ejemplo 4.Hace 15 años la edad de Luisa era 2/5 de la edad que tendrá dentro de 15 años. ¿Qué edad
tiene ahora?
x =Edad actual de Luisa.
Hace 15 años tenía (x – 15) años y dentro de 15 años tendrá (x + 15)

El planteamiento es:
(x −15) = 2/5(x + 15)
Resolvemos:
5x −75 = 2(x +15) ⇒ 5x −75 = 2x + 30 ⇒ 3x = 105 ⇒
x =105/3 ⇒ x = 35años es la edad actual de...