Ecuaciones De Primer Y Segundo Grado

Ecuaciones de Primer Grado

Conceptos y definiciones:

Igualdad:

Es una expresión matemática en la que dos expresiones numéricas o literales se hallan relacionadas con el signo de igualdad (=).

Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.

Expresión (1) = Expresión (2)



Primer miembro Segundo miembro

Identidad:

* Si la igualdadse cumple entre números se denomina identidad numérica
2+4+5 = 1+10
* Si se cumple para cualquier valor asignado a las literales presentes, se denomina identidad literal.
Ejemplo de esto, son los producto notables; a saber,

* Cuadrado de una suma:

a+b2 = a2+2ab+b2

* Cuadrado de una diferencia:

a-b2 = a2-2ab+b2

* Producto de dos binomios conjugados:

a+ba-b= a2-b2En cada uno de estos ejemplos, la igualdad se cumple para cualquier valor que se le asigne a las literales “a” y “b”.

Para a = 2 y b = 3,

2+32 = 22+2(2)(3)+32

52 = 4+12+9

Ecuación:

Es el nombre que recibe una igualdad que se cumple únicamente para ciertos valores de las literales presentes, a las cuales se les denomina incógnitas.

Por ejemplo,

5x=15 secumple para x=3

Solución de una ecuación

La solución de una ecuación es el valor (raíz) o valores (raíces) de las incógnitas que convierten a la igualdad en una identidad numérica.

2x+1=9 →Solución: x=4

x2-3=6 →Solución: x=-3, x=3
Ecuaciones equivalentes

Son aquellas ecuaciones que admiten la misma solución, y que se pueden obtener aplicando las siguientes operaciones:

*Se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación.

3x=12 (A)

Sumando 4: 3x+4=12+4 (B)

Restando 2: 3x-2=12-2 (C)

(B) y (C) son ecuaciones equivalentes de (A) y admiten la misma solución: x = 4

* Se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero.

3x=12(A)

Multiplicando por 4, 12x=48 (D)

Dividiendo entre 2, 3x2=6 (E)

(D) y (E) son ecuaciones equivalentes de (A) y admiten la misma solución; x = 4

Trasposición de términos.

Es el proceso mediante el cual un número pasa de un miembro a otro miembro de una ecuación, resultando con ello una ecuación equivalente. Para dicha trasposición de números sedispone de las siguientes reglas prácticas, sumamente importantes en la resolución de ecuaciones, particularmente las de primer grado.

* Si un número aparece sumando en un miembro, se le puede pasar restando al otro miembro. Si está restando pasa sumando.

* De igual manera, si está multiplicando pasa dividiendo, y viceversa.

Solución de Ecuaciones de Primer Grado
Para resolver unaecuación de primer grado, se sigue un proceso mediante el cual se van obteniendo una serie de ecuaciones que son equivalentes a la ecuación original, hasta llegar a la ecuación equivalente más simple a partir de la cual el siguiente paso proporciona el valor de la incógnita que satisface todas las ecuaciones equivalentes obtenidas, incluyendo a la ecuación original.
En los primeros dos ejemplosse detalla paso a paso el proceso de solución; y en los que siguen, se aplicarán las reglas de trasposición de términos antes mencionadas.
1) Resolver la ecuación:

3x-2 =2x+3
Sumando “2” a cada miembro y simplificando,
3x-2+2=2x+3+2
3x+0=2x+5
3x=2x+5
Restando “2x” a cada miembro y simplificando,

3x-2x=2x-2x+5
x=0+5
x=5 {solución dela ecuación}

Seobtiene x=5, siendo este valor la solución o raíz de la ecuación propuesta.

Para comprobar, se sustituye este valor en la ecuación original:
3x-2 =2x+3
3(5)-2 =2(5)+3
13 =13

2) Resolver la ecuación:

5x+6=3x-2

Restando “6” a cada miembro,

5x+6-6=3x-2-6
5x+0=3x-8
Restando “3x” a cada miembro,

5x-3x=3x-3x-8
2x=0-8=-8
x=-82= -4
La solución o...