Ecuaciones de rectas y planos

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

LA RECTA.

Una recta en el espacio queda determinada por un punto A y por una dirección definida por un vector no nulo, , denominado vector director de la rectaes la determinación lineal de la recta.
La determinación lineal de la recta no es única, ya que se puede tomar cualquiera de sus puntos; además, dada una recta, existen infinitos vectores directores(todos paralelos entre sí y con la misma dirección de la recta).
Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos. En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puededeterminar el vector y este será un vector director de la recta, puesto que tiene su misma dirección. La determinación de la recta será .

ECUACIÒN VECTORIAL DE LA RECTA.

Sea A (a1, a2, a3) unpunto de la recta y sea un vector director; en la siguiente figura se observa que, para un punto cualquiera P(x, y, z), de la recta se puede escribir:


Y dado que tiene la misma dirección que :Que es la ecuación vectorial de la recta en el espacio.







ECUACIONES PARAMÈTRICAS DE LA RECTA.
Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3), las del puntoP, (x, y, z) y las componentes del vector son (v1, v2, v3) la ecuación vectorial se puede escribir:
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ (v1, v2, v3)
Igualando las componentes se obtiene:Conocidos dos puntos de la recta, A (a1, a2, a3) y B (b1, b2, b3), las ecuaciones paramétricas de la recta se convierten en:
λ € R

ECUACIONES EN FORMA CONTINUA DE LA RECTA.
Despejando en cada unade las ecuaciones paramétricas el parámetro λ, se obtiene:





Conocidos dos puntos de la recta, A (a1, a2, a3) y B (b1, b2, b3) su ecuación se convierte en:
= =

EL PLANO.
Un planoen el espacio queda determinado por un punto A y dos vectores, y no nulos y no paralelos, que se denominan vectores directores del plano. La expresión π(A, , ) se denomina determinación lineal...